MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 271

Mamy $L(t)=1000\cdot2^{t/3}$. Stąd $L(0)=1000$, a $L(0{,}5)=1000\cdot2^{1/6}\approx1122$: są to odpowiednio liczebność początkowa i liczebność po pół godzinie. Podwojenie zachodzi, gdy $2^{t/3}=2$, czyli po $t=3$ godzinach.

Niech $t$ oznacza liczbę godzin od 9.00. Wzrost o $25\%$ co pół godziny daje $a^{1/2}=1{,}25$, zatem $a=1{,}5625$. Z warunku $c\cdot a=10^6$ otrzymujemy $c=640000$. Wartości tabeli obliczamy ze wzoru $L(t)=640000\cdot1{,}5625^t$.

a) Iloraz mas po kolejnych $15$ latach wynosi $0{,}7071\approx2^{-1/2}$. Z równania $2^{-15/T}=2^{-1/2}$ dostajemy $T\approx30$ lat.

b) $100=m_0 2^{-10/30}$, więc $m_0=100\sqrt[3]2\approx126$ g.

c) Rok 2020 przypada po $60$ latach, czyli po dwóch okresach połowicznego rozpadu; zostaje $2^{-2}=25\%$ masy.