MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 270

Największa z trzech liczb jest równa $\log_8 65$: istotnie $65>3^3$ oraz $65^2>5^3$. Wystarczy więc sprawdzić nierówność trójkąta dla tej liczby. Po sprowadzeniu do podstawy $2$ mamy

$$6\left(\log_2 3+\log_4 5-\log_8 65\right) =\log_2\frac{3^6\cdot5}{13^2}>0,$$

bo $3^6\cdot5=3645>169=13^2$. Suma dwóch mniejszych liczb jest zatem większa od największej, więc liczby mogą być bokami trójkąta.

Korzystamy z $1/\log_a b=\log_b a$.

a) Nierówność jest równoważna $\log_{25}(4n)<\log_{25}25$, czyli $4n<25$. Dla naturalnego $n\ge2$ dostajemy $n\in\{2,3,4,5,6\}$.

b) Lewa strona to $\log_{90}(64n^3)$. Warunek wymaga $64n^3<90$, co jest niemożliwe już dla $n=2$.

Oznaczmy $x=\log_{1/3}18$. Lewa strona po usunięciu ułamków piętrowych ma postać

$$\frac{x+2}{2x+3}.$$

Jeśli $u=\frac{\ln2}{\ln3}$, to $x=-\frac{\ln18}{\ln3}=-2-u$. Zatem

$$\frac{x+2}{2x+3}=\frac{u}{1+2u} =\frac{\ln2}{\ln3+2\ln2}=\log_{12}2.$$

Z definicji $p=\log_{16}9$ otrzymujemy $2p=\log_2 3$. Oznaczając $q=\log_2 3=2p$ i zmieniając podstawę, uzyskujemy kolejno:

a) $\log_2 27=3q=6p$.

b) $\log_3 16=4/q=2/p$.

c) $\log_3 12=(2+q)/q=(p+1)/p$.

d) $\log_{12}8=3/(2+q)=3/(2p+2)$.

e) $\log_6 27=3q/(1+q)=6p/(2p+1)$.

f) $\log_{2\sqrt3}24=(3+q)/(1+q/2)=(2p+3)/(p+1)$.

a) Po odwróceniu logarytmów lewa strona wynosi

$$\log_a\frac23+\log_{a^2}\frac{25}{4} =\log_a\frac23+\log_a\frac52=\log_a\frac53.$$

Dla $0<a<1$ i $5/3>1$ ta wartość jest ujemna.

b) Suma w środku nierówności jest równa $4\log_{a+3}2=\log_{a+3}16$. Ponieważ $3<a+3<4$, mamy $(a+3)^2<16<(a+3)^3$, a więc $2<\log_{a+3}16<3$.

Niech $x=\log_a b$. Zmieniamy podstawę każdego warunku na $a$.

a) $(1+2x)/(2+x)=3$, skąd $x=-5$.

b) $(2+3x)/(1+x)=4$, skąd $x=-2$.

c) $(x+1/2)/(1-3x)=-2$, skąd $x=1/2$.

Oznaczmy $u=\log_{ab}a$ i $v=\log_{ab}b$. Zawsze $u+v=1$.

a) Warunek daje $(3u+v/2)/(2u)=2$, czyli $v=2u$. Stąd $u=1/3$ i $v=2/3$.

b) Mamy $(u-v/2)/(u-v)=1/4$, więc $v=3u$. Zatem $u=1/4$ i $v=3/4$.

Zmieniamy wszystkie podstawy na dowolną wspólną podstawę.

a) Czynniki mają współczynniki odpowiednio $2$, $1/2$ i $1/6$; logarytmy pośrednich liczb skracają się, więc iloczyn wynosi $1/6$.

b) Pierwszy iloraz upraszcza się do $\log_a(ab)=1+\log_a b$. Po odjęciu $\log_a b$ zostaje $1$.

Po zmianie podstaw kolejne czynniki tworzą iloczyn teleskopowy:

$$\frac{\ln3}{\ln2}\cdot\frac{\ln4}{\ln3}\cdots \frac{\ln(n+1)}{\ln n}=\log_2(n+1).$$

Dla $n=2^k-1$ otrzymujemy $\log_2(2^k)=k$.

Każdy czynnik ma postać $\log_{j^2}(j+1)=\frac12\frac{\ln(j+1)}{\ln j}$. Iloczyn dla $j=2,\ldots,n$ jest więc równy

$$\frac{1}{2^{n-1}}\frac{\ln(n+1)}{\ln2} =\frac{\log_2(n+1)}{2^{n-1}}.$$

a) Dla $n=5$ dostajemy $\frac1{16}\log_2 6$.

b) Dla $n=10$ dostajemy $\frac1{512}\log_2 11$.

c) Dla $n=k$ dostajemy $\frac{\log_2(k+1)}{2^{k-1}}$.