MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 269

Korzystamy z $u^{1/\log_vu}=u^{\log_uv}=v$. W pozostałych podpunktach zmieniamy podstawę logarytmu na podstawę potęgi i stosujemy tę samą własność.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $4$.

b) Otrzymujemy $3$.

c) Otrzymujemy $729$.

d) Otrzymujemy $4\sqrt2$.

Ponieważ

$$\log_{1/\sqrt2}c=-2\log_2c, \qquad \log_{2\sqrt2}c=\frac23\log_2c,$$

dla $c=3$ pierwsza para nierówności daje $\frac19<n<3^{2/3}$, a dla $c=5$ — $\frac1{25}<n<5^{2/3}$. W obu przedziałach dodatnimi liczbami naturalnymi są dokładnie $1$ i $2$.

Ze zmiany podstawy $\log_{a^r}x=\frac1r\log_ax$. W f) dodatkowo

$$\log_{ax}x=\frac{\log_ax}{1+\log_ax} =\frac{1/4}{1+1/4}.$$

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $\frac18$.

b) Otrzymujemy $\frac12$.

c) Otrzymujemy $-\frac14$.

d) Otrzymujemy $\frac16$.

e) Otrzymujemy $-\frac3{16}$.

f) Otrzymujemy $\frac15$.

a) Lewa strona upraszcza się do $\frac{\log_2 10}{\log_2 5}=\log_5 10=1/\log5$.

b) Licznik jest równy $\log_3 4=2\log_3 2$, a mianownik $3\log_3 2$, więc iloraz to $\frac23$.

c) Dla $A=\log_5 100$, $B=\log_2 100$ ułamek jest równy $1/A+1/B=\log_{100}5+\log_{100}2=\frac12$.

d) Odwrotność lewej strony to $1/\log_4 12+1/\log_3 12=\log_{12}4+\log_{12}3=1$.

a) Lewy iloraz jest równy $\log_2 22$. Po zmianie podstaw w prawym ilorazie czynniki z $33$ skracają się i również zostaje $\log_2 22$.

b) Lewy iloraz jest równy $\log_{\sqrt{55}}\sqrt{77}$. Po zmianie podstawy w prawym ilorazie czynniki $\log\sqrt5$ skracają się, dając tę samą wartość. Obie proporcje zachodzą.

Z $\log_am=-\frac15$ wynika $m=a^{-1/5}$. Każdą podstawę i argument zapisujemy jako potęgę $a$; szukany logarytm jest ilorazem wykładników.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $-\frac45$.

b) Otrzymujemy $\frac1{20}$.

c) Otrzymujemy $-\frac54$.

d) Otrzymujemy $-4$.

e) Otrzymujemy $\frac32$.

f) Otrzymujemy $\frac12$.

Równość $k=\log_{16}a$ oznacza $\log_2a=4k$. Po zmianie każdej podstawy na liczbę $2$ otrzymujemy wskazane wielokrotności $k$.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $2k$.

b) Otrzymujemy $\frac43k$.

c) Otrzymujemy $8k$.

d) Otrzymujemy $k$.

e) Otrzymujemy $2k$.

f) Otrzymujemy $4k$.

a) Mamy $\log_{27}8=\log_3 2$ i $\log_9x=\frac12\log_3x$. Stąd $\log_3x<\log_3 4$.

b) Po zmianie podstaw nierówność ma postać $\frac13\log_2x\ge2\log_2 3$, czyli $\log_2x\ge\log_2 3^6$.

Dla $x>0$ obie funkcje mają postać

$$f(x)=\frac23\log_2x, \qquad g(x)=\log_2\sqrt[3]{x^2}=\frac23\log_2x.$$

Jednak dziedziną $f$ jest $(0;\infty)$, a $g$ jest określona także dla $x<0$ i wtedy $g(x)=\frac23\log_2|x|$. Zatem każdy punkt wykresu $f$ należy do wykresu $g$, lecz wykres $g$ ma dodatkową lewą gałąź.

Korzystamy z $1/\log_uv=\log_vu$. Pierwsze równanie daje $\log_2(x+y)=\log_2 6$, czyli $x+y=6$. Drugie daje $\log_2(xy)=3$, więc $xy=8$. Zatem

$$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=36-16.$$