MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 268

Stosujemy bezpośrednio wzór zmiany podstawy

$$\frac{\log_cu}{\log_cv}=\log_vu.$$

a) $\dfrac{\log_4 8}{\log_4 6}=\log_6 8$.

b) $\dfrac{\log_{100}2}{\log_{100}(1/3)}=\log_{1/3}2$.

c) $\dfrac{\log_{20}0{,}1}{\log_{20}3{,}5}=\log_{3{,}5}0{,}1$.

d) $\dfrac{\log_{1/3}(1/2)}{\log_{1/3}(1/5)}=\log_{1/5}\frac12$.

e) $\dfrac{\log_{\sqrt6}7}{\log_{\sqrt6}12}=\log_{12}7$.

f) $\dfrac{\log_9\sqrt{10}}{\log_9\sqrt5}=\log_{\sqrt5}\sqrt{10}$.

Jeżeli nowa podstawa jest potęgą $3^r$, wybieramy argument $2^r$, ponieważ $\log_{3^r}2^r=\log_3 2$.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $\log_9 4$.

b) Otrzymujemy $\log_{81}16$.

c) Otrzymujemy $\log_{1/3}\frac12$.

d) Otrzymujemy $\log_{1/9}\frac14$.

e) Otrzymujemy $\log_{\sqrt3}\sqrt2$.

Stosujemy zmianę podstawy i dobieramy argument tak, by iloraz logarytmów pozostał ten sam. Przykładowo $\log_4 6=\log_8(6^{3/2})=\log_8(6\sqrt6)$.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $\log_3\sqrt7$.

b) Otrzymujemy $\log_8(6\sqrt6)$.

c) Otrzymujemy $\log_{0{,}2}0{,}1$.

d) Otrzymujemy $\log_2(5\sqrt5)$.

e) Otrzymujemy $\log_9 4$.

f) Otrzymujemy $\log_{16}25$.

Łańcuchowe iloczyny logarytmów skracają się zgodnie z $\log_ab\cdot\log_bc=\log_ac$. W a) licznik jest równy $\log_2 64=6$, a mianownik $\log_2 4=2$. W b) są to odpowiednio $\log_5 625=4$ i $\log_6 216=3$.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $3$.

b) Otrzymujemy $\frac43$.

Każdą liczbę sprowadzamy do podstawy $2$ albo $3$. Następnie porównujemy otrzymane wielokrotności tego samego logarytmu.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $a=x$, $b=x$, $c=x$.

b) Otrzymujemy $b=x$, $c=x$, natomiast $a\ne x$.

c) Otrzymujemy $a=x$, $c=x$, natomiast $b\ne x$.

Mamy

$$x=1-\log_6 3=\log_6 2,$$

oraz

$$y=\frac1{1+\log_3 2}=\frac1{\log_3 6}=\log_6 3.$$

Zatem $x+y=\log_6 2+\log_6 3=\log_6 6=1$.

a) Po podwojeniu obu logarytmów porównujemy $7^2=49$ z $81$.

b) Obie liczby są równe $-\log_3 2$.

c) Dla argumentu $4>1$ większa podstawa daje mniejszy dodatni logarytm.

d) Oba logarytmy są ujemne; podstawa $\frac45$ jest bliższa $1$, więc iloraz przez jej logarytm ma większą wartość bezwzględną.

Zmieniamy podstawy na wspólną. W iloczynach pojawiają się wzajemnie odwrotne ilorazy logarytmów, które się skracają.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $1$.

b) Otrzymujemy $\frac1{12}$.

c) Otrzymujemy $-5$.

d) Otrzymujemy $4$.

e) Otrzymujemy $-9$.

f) Otrzymujemy $-2$.