MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 267

a) Równanie sprowadza się do $|x(x+2)|=8$. Przypadek $x(x+2)=8$ daje $x=-4$ lub $x=2$, a drugi przypadek nie ma pierwiastków rzeczywistych.

b) Po uproszczeniu otrzymujemy $|x-2|=x^2$. Dla $x<2$ równanie $2-x=x^2$ daje $x=-2$ lub $x=1$; przypadek $x\ge2$ nie daje rozwiązań.

a) Oznaczmy $t=\log_4x$. Ponieważ $\log_{0{,}25}x=-t$, równanie ma postać $|t|-t=0$, czyli $t\ge0$. Stąd każde $x\ge1$ jest rozwiązaniem.

b) Dziedzina wymusza $x<3$, a wtedy $|x-3|=3-x$. Równanie ma postać $|\log_3(3-x)|-\log_3(3-x)=0$, zatem $\log_3(3-x)\ge0$, czyli $x\le2$. W obu przypadkach otrzymujemy nieskończone przedziały rozwiązań.

Najpierw wyznaczamy dziedzinę, a następnie korzystamy z malejącej funkcji $\log_{1/2}$. W c) nierówność z wartością bezwzględną jest równoważna $0<\log_2|x|<2$.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $x\in(-6;-2)\cup(2;6)$.

b) Otrzymujemy $x\in\langle-2;0)\cup(0;2\rangle$.

c) Otrzymujemy $x\in(-4;-1)\cup(1;4)$.

Dziedziną jest $\mathbb R\setminus\{0\}$.

a) Dla $x>0$ czynnik $x/|x|$ jest równy $1$, więc $f(x)=|\log_2x|$. Dla $x<0$ czynnik ten jest równy $-1$, zatem $f(x)=-|\log_2(-x)|$. Lewa gałąź jest więc obrazem prawej przy symetrii środkowej względem początku układu; punkty charakterystyczne mają odcięte $-1$ i $1$.

b) Z monotoniczności $\log_2x$ i działania wartości bezwzględnej wynika, że funkcja rośnie na $(-\infty;-1]$ i $[1;\infty)$, a maleje na $[-1;0)$ i $(0;1]$.

a) Warunek istnienia logarytmu daje dziedzinę $D=(0;\infty)$.

b) Dla $x\ge1$ mamy $\log_2x\ge0$, więc $f(x)=2^{\log_2x}=x$. Dla $0<x<1$ logarytm jest ujemny, zatem

Czyli

c) Gałąź $1/x$ maleje od $+\infty$ do $1$, a gałąź $x$ rośnie od $1$ do $+\infty$; spotykają się w $(1,1)$. Stąd zbiór wartości to $[1;\infty)$, funkcja maleje na $(0;1]$ i rośnie na $[1;\infty)$.

Miejsca zerowe spełniają $|\log_a|x||=-q$. Gdy $q>0$, rozwiązań nie ma. Gdy $q=0$, otrzymujemy $|x|=1$, czyli dwa zera. Gdy $q<0$, równania $\log_a|x|=\pm(-q)$ wyznaczają dwa różne dodatnie promienie, a każdy daje dwa symetryczne argumenty. Są więc cztery zera. Żaden przypadek nie daje trzech.