MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 266

Równanie ma dla każdego $m$ dokładnie jeden pierwiastek:

Warunek $x<6$ jest równoważny

Funkcja $2^m$ jest rosnąca, zatem $m<1$.

Wartość wykresu w punkcie $x=0$, o ile istnieje, jest równa $\log_2a$. Po odczytaniu parametru ze skanu rozwiązujemy $\log_2(|x|+a)>2$, czyli $|x|+a>4$.

a) Wierzchołek ma współrzędne $(0,2)$, zatem $a=4$. Otrzymujemy $|x|>0$, czyli $x\in\mathbb R\setminus\{0\}$.

b) Wierzchołek ma współrzędne $(0,0)$, zatem $a=1$. Warunek $|x|+1>4$ daje $|x|>3$, czyli $x\in(-\infty;-3)\cup(3;\infty)$.

c) Asymptoty pionowe mają równania $x=-1$ i $x=1$, więc $a=-1$. Nierówność $|x|-1>4$ daje $|x|>5$, czyli $x\in(-\infty;-5)\cup(5;\infty)$.

Wartość bezwzględna na zewnątrz nie zmienia miejsc, w których wartość funkcji jest równa zeru. Zastąpienie $x$ przez $|x|$ odbija prawą część wykresu względem osi $OY$. Stąd $g_1$ ma jedno zero, a $g_2$ i $g_3$ po dwa symetryczne zera.

Funkcja jest parzysta. Dla $x>0$ jej postać zmienia się w punktach $\frac12$, $1$ i $2$, gdzie kolejno $|\log_2x|=1,0,1$. Rozpatrujemy cztery przedziały i odbijamy wynik względem osi $OY$.

Na przedziale $\langle1;4\rangle$ usuwamy moduły wewnętrzne i sprawdzamy końce przedziału oraz miejsca zerowe wyrażeń pod zewnętrzną wartością bezwzględną.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy minimum $0$ dla $x=4$, maksimum $2$ dla $x=1$.

b) Otrzymujemy minimum $0$ dla $x=2$, maksimum $2$ dla $x\in\{1,4\}$.

c) Otrzymujemy minimum $0$ dla $x=3$, maksimum $1$ dla $x=1$.

d) Otrzymujemy minimum $0$ dla $x=3$, maksimum $1$ dla $x=1$.

Dziedzina wynika z $4-|x|>0$, więc jest równa $(-4;4)$. Dla $m\ge0$ równanie jest równoważne alternatywie

Druga równość daje dwa rozwiązania dla każdego $m>0$. Pierwsza daje dwa dla $0<m<2$, jedno dla $m=2$ i żadnego dla $m>2$. Dla $m=0$ obie równości pokrywają się i dają $x=\pm3$.

Odbicie względem osi $OX$ zmienia znak wartości, względem osi $OY$ zastępuje $x$ przez $-x$, względem $y=1$ zastępuje $f$ przez $2-f$, a względem $x=4$ zastępuje argument $x$ przez $8-x$.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $g(x)=-\log_2(x-2)$, $D=(2;\infty)$.

b) Otrzymujemy $g(x)=\log_2(-x-2)$, $D=(-\infty;-2)$.

c) Otrzymujemy $g(x)=2-\log_2(x-2)$, $D=(2;\infty)$.

d) Otrzymujemy $g(x)=\log_2(6-x)$, $D=(-\infty;6)$.

Uwzględniamy monotoniczność funkcji wewnętrznej. W a) funkcja $-x$ jest malejąca, w b) funkcja $1/x$ na $(0;\infty)$ jest malejąca, a w c) $1/(1-x)$ na $(-\infty;1)$ jest rosnąca. Dobieramy monotoniczność logarytmu tak, aby złożenie było rosnące.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $D=(-\infty;0)$, $m\in(-3;-2)$.

b) Otrzymujemy $D=(0;\infty)$, $m\in(1;2)$.

c) Otrzymujemy $D=(-\infty;1)$, $m\in(-\infty;-1)\cup(1;\infty)$.