MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 265

Dziedziną funkcji $f$ jest $(-1;\infty)$. Wykresy przecinają się w punktach $(0,1)$ i $(1,2)$. Między ich odciętymi wykres funkcji $f$ leży nad wykresem $g$, a poza tym przedziałem — pod nim.

Asymptota funkcji $k+\log_2(x-m)$ ma równanie $x=m$, zatem $m=3$ i dziedzina to $(3;\infty)$. Podstawiając punkt $P$:

Wykres jest przesunięciem wykresu $\log_2x$ o wektor $[3,-2]$.

Podstawiamy nowy argument do wzoru $f$ i wymagamy jego dodatniości. W c) dodatkowo upraszczamy $\log_{1/2}\frac1{x+3}=\log_2(x+3)$.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $g(x)=\log_{1/2}(-x)$, $D=(-\infty;0)$.

b) Otrzymujemy $g(x)=\log_{1/2}(3-x)$, $D=(-\infty;3)$.

c) Otrzymujemy $g(x)=\log_2(x+3)$, $D=(-3;\infty)$.

Ze skanu rozpoznajemy wykresy po dziedzinie, monotoniczności i miejscach zerowych. Czerwony wykres ma zero $\frac14$, więc odpowiada funkcji $f$; zielony ma zero $4$ i jest rosnący, więc odpowiada $g$; niebieski jest malejący na $(0;\infty)$ i ma zero $4$, więc odpowiada $h$; fioletowy ma dziedzinę $(-\infty;0)$, więc odpowiada $k$.

a) Wspólna dziedzina to $x>0$. Nierówność $\log_2(4x)\ge\log_2(4/x)$ jest równoważna $x^2\ge1$, stąd $x\ge1$.

b) Dla $x>0$ nierówność $\log_2(x/4)<\log_2(4/x)$ daje $x^2<16$, czyli $0<x<4$.

c) Po oznaczeniu $t=\log_2x$ mamy $(f(x)-2)h(x)=t(2-t)>0$. Stąd $0<t<2$, czyli $1<x<4$.

d) Wspólna dziedzina to $0<x<2$. Ponieważ $k(x-2)=\log_2(4(2-x))$, nierówność $k(x-2)\ge f(x)$ daje $2-x\ge x$, a więc $0<x\le1$.

Argument logarytmu musi być dodatni. Granica dziedziny, przy której argument dąży do zera, jest asymptotą pionową wykresu.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $D=(-\infty;2)$, asymptota $x=2$.

b) Otrzymujemy $D=(-\infty;-1)$, asymptota $x=-1$.

c) Otrzymujemy $D=(-\infty;4)$, asymptota $x=4$.

a) Wspólna dziedzina obu logarytmów to $(1;\infty)$. W niej

więc zbiorem wartości jest $\mathbb R$.

b) Wspólna dziedzina to $(2;\infty)$, a $f(x)=\log_{1/2}\frac{x}{2}$. Argument jest większy od $1$, więc wartości są ujemne; dążą do $0$ od dołu przy $x\to2^+$ i do $-\infty$.

Dla pierwszej gałęzi argument $(x+4)/4$ przebiega przedział $(0;1\rangle$, więc jej wartości tworzą $\langle0;\infty)$. Druga gałąź przyjmuje wartości dodatnie, zatem nie powiększa tego zbioru. Gdy $x\to-4^+$, pierwsza gałąź dąży do $+\infty$, więc asymptotą jest $x=-4$.

Ujemny pierwiastek równania $f(x)=1$ spełnia $(x+4)/4=\frac12$.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $W=\langle0;\infty)$.

b) Otrzymujemy asymptota $x=-4$.

c) Otrzymujemy $x=-2$.