MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 264

Wykres $g$ otrzymujemy z wykresu $f(x)=\log_2x$ przez przesunięcie o $4$ jednostki w górę, a wykres $h$ przez przesunięcie o $2$ jednostki w dół. Wszystkie trzy wykresy mają dziedzinę $(0;\infty)$ i asymptotę $x=0$.

Dla $x=2$:

Zatem dodatnie wartości przyjmują $f$ i $g$.

Miejsce zerowe spełnia warunek, że argument logarytmu jest równy $1$. Wykres w każdym podpunkcie jest przesuniętym wykresem odpowiedniej funkcji logarytmicznej, z asymptotą na lewym końcu dziedziny.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $x_0=2$.

b) Otrzymujemy $x_0=-1$.

c) Otrzymujemy $x_0=-2$.

d) Otrzymujemy $x_0=2$.

Warunek dodatniości argumentu wyznacza dziedzinę. Asymptota pionowa ma równanie otrzymane przez wyzerowanie argumentu, a jej przecięcie z osią $OX$ ma drugą współrzędną równą $0$.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $D=(4;\infty)$, punkt $(4,0)$.

b) Otrzymujemy $D=(-2;\infty)$, punkt $(-2,0)$.

c) Otrzymujemy $D=(1;\infty)$, punkt $(1,0)$.

d) Otrzymujemy $D=(-3;\infty)$, punkt $(-3,0)$.

We wzorze $\log_2(x-p)+q$ liczba $p$ oznacza przesunięcie poziome, a $q$ pionowe. Odczytujemy je bezpośrednio z każdego wzoru.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $\vec w=[2,3]$.

b) Otrzymujemy $\vec w=[3,-2]$.

c) Otrzymujemy $\vec w=[-4,1]$.

Wyznaczamy dziedzinę z dodatniości argumentu, a nierówność $f(x)<0$ rozwiązujemy, uwzględniając podstawę i ewentualne odbicia wykresu. Przykładowo w a) $-\log_{1/2}x=\log_2x$.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $D=(0;\infty)$, $f(x)<0$ dla $x\in(0;1)$.

b) Otrzymujemy $D=(0;\infty)$, $f(x)<0$ dla $x\in(9;\infty)$.

c) Otrzymujemy $D=(-\infty;0)$, $f(x)<0$ dla $x\in(-1;0)$.

d) Otrzymujemy $D=(-\infty;0)$, $f(x)<0$ dla $x\in(-3;0)$.

Po przesunięciu otrzymujemy $g(x)=\log_3(x+3)-2$. Dla $x=0$ jest $g(0)=-1$, więc $A=(0,-1)$. Warunek $g(x)=0$ daje $x=6$, zatem $B=(6,0)$. Asymptota ma równanie $x=-3$, więc $C=(-3,0)$. Podstawa trójkąta ma długość $9$, a wysokość $1$.

Każda funkcja pod wartością bezwzględną jest monotoniczna w swojej dziedzinie i ma jedno miejsce zerowe. Wartość bezwzględna odwraca fragment wykresu leżący poniżej osi, więc właśnie w miejscu zerowym zmienia się monotoniczność.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy maleje na $(-2;-1\rangle$, rośnie na $\langle-1;\infty)$.

b) Otrzymujemy maleje na $(0;2\rangle$, rośnie na $\langle2;\infty)$.

c) Otrzymujemy maleje na $(3;6\rangle$, rośnie na $\langle6;\infty)$.

d) Otrzymujemy maleje na $(-9;-6\rangle$, rośnie na $\langle-6;\infty)$.