MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 261

Dla funkcji $y=\log_2x$ wartością w punkcie $x=2^r$ jest wykładnik $r$. Sprowadzamy więc każdy argument do potęgi liczby $2$.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $7,-4,-0{,}6$.

b) Otrzymujemy $2,4,7$.

c) Otrzymujemy $-1,-3,-10$.

d) Otrzymujemy $\frac12,\frac23,\frac85$.

Punkt $(x,y)$ należy do wykresu wtedy i tylko wtedy, gdy $a^y=x$. Stosujemy tę zależność do każdej pary współrzędnych, również wtedy, gdy szukana jest podstawa logarytmu.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $a=2$.

b) Otrzymujemy $a=-3$.

c) Otrzymujemy $a=\frac{16}{9}$.

d) Otrzymujemy $a=\frac{27}{8}$.

e) Otrzymujemy $a=\frac12$.

f) Otrzymujemy $a=8$.

Najpierw z punktu $A$ rozwiązujemy równanie $a^{y_A}=x_A$. Potem obliczamy $\log_a x_B$ i porównujemy z drugą współrzędną punktu $B$.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $a=2$, $B$ nie należy.

b) Otrzymujemy $a=3$, $B$ należy.

c) Otrzymujemy $a=\frac14$, $B$ nie należy.

d) Otrzymujemy $a=\sqrt3$, $B$ nie należy.

e) Otrzymujemy $a=\frac12$, $B$ należy.

f) Otrzymujemy $a=0{,}1$, $B$ należy.

Obliczamy $g(8)=64-56-6=2$. Zatem $\log_a8=2$, skąd $a=\sqrt8=2\sqrt2$. Teraz

$$f(16)=\frac83,\qquad f\left(\frac12\right)=-\frac23.$$

Iloraz tych wartości jest równy $-4$.

Dziedzina $D$ jest przeciwobrazem podanego przedziału wartości. Dla funkcji rosnącej potęgujemy końce w tej samej kolejności, a dla malejącej zamieniamy ich kolejność.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $D=\langle\frac13;27\rangle$.

b) Otrzymujemy $D=\langle\frac19;9\rangle$.

c) Otrzymujemy $D=\langle1;\frac{27}{8}\rangle$.

d) Otrzymujemy $D=\langle\frac1{25};5\rangle$.

Warunek przynależności punktu daje

$$a^{-\sqrt3/3}=2^{\sqrt3}.$$

Podnosząc obie strony do potęgi $-\sqrt3$, otrzymujemy $a=2^{-3}$.