MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 260

Rozkładamy argumenty na czynniki występujące w danej liczbie $p$.

a) Dla $p=\log_6 9$:

$$a=\log_6 4=\log_6\frac{36}{9}=2-p.$$

b) Dla $p=\log_6 3$:

$$a=\log_6 8=\log_6\frac{216}{27}=3-3p.$$

c) Dla $p=\log 8$:

$$a=\log25=\log\frac{100}{4}=2-\log4 =2-\frac23\log8=2-\frac23p.$$

d) Dla $p=\log_{12}9$ mamy $2\log_{12}2+\log_{12}3=1$, a $\log_{12}3=p/2$. Stąd

$$a=\log_{12}8=3\log_{12}2 =\frac32-\frac34p.$$

Stosujemy prawa działań na logarytmach i zamieniamy potęgi oraz pierwiastki na współczynniki. Przykładowo

$$\log\frac{0{,}1a}{\sqrt[3]{ab}} =-1+\frac23p-\frac13q.$$

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $2p+3q$.

b) Otrzymujemy $\frac{p+q}{2}$.

c) Otrzymujemy $1+3p-2q$.

d) Otrzymujemy $\frac{q-p}{2}$.

e) Otrzymujemy $-1+\frac23p-\frac13q$.

f) Otrzymujemy $\frac13p+\frac23q$.

g) Otrzymujemy $-\frac12p-2q$.

h) Otrzymujemy $\frac12p-\frac14q$.

Z $a=2\log3$ mamy $\log3=\frac a2$. Ponadto $b=\log2+\log3$, więc $\log2=b-\frac a2$. Każdy argument rozkładamy na potęgi liczb $2$ i $3$ i podstawiamy te dwie zależności.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $3b-a$.

b) Otrzymujemy $2b-\frac a2$.

c) Otrzymujemy $4b-2a$.

d) Otrzymujemy $a-b$.

e) Otrzymujemy $\frac52a-2b$.

f) Otrzymujemy $2b-\frac32a$.

g) Otrzymujemy $\frac14a+\frac12b$.

h) Otrzymujemy $\frac34a-b$.

Oznaczmy $u=\log4$ i $v=\log25$. Ponieważ $u+v=\log100=2$, mamy

$$u^2+v^2=(u+v)^2-2uv=4-2uv.$$

Ponadto $\log16=2u$, więc prawa strona danej równości także jest równa $4-2uv$. Równość została wykazana.

a) Rozwijamy oba logarytmy: $\log_a(a^2b)=2+\log_ab$ oraz $\log_b(ab^2)=\log_ba+2$. Po odjęciu pozostaje prawa strona.

b) Zmiana podstawy z $\sqrt a$ na $a$ i z $\sqrt b$ na $b$ daje po obu stronach $2(\log_ba-\log_ab)$.

c) Po zmianie podstaw i rozwinięciu iloczynu $\sqrt{ab}$ składniki $\log_{a^2}\sqrt a$ oraz $\log_{b^2}\sqrt b$ są równe i redukują się. Pozostaje dokładnie prawa strona. Wszystkie równości są więc wykazane.

W każdym podpunkcie podstawa logarytmu musi być dodatnia i różna od $1$, a wszystkie argumenty muszą być dodatnie.

a) Założenia: $a>0$ i $a\ne1$. Mamy

$$\frac12\log_a2-\log_a\sqrt{2a} =\frac12\log_a2-\frac12(\log_a2+1)=-\frac12.$$

b) Założenia: $a>0$ i $a\ne1$. Wtedy

$$\log_{a^2}16-4\log_{a^2}(2a) =\log_{a^2}\frac{16}{(2a)^4} =\log_{a^2}a^{-4}=-2.$$

c) Skan strony źródłowej pokazuje w obu logarytmach podstawę $a^{-2}$, a nie odczytane przez OCR $a-2$. Założenia są więc równe $a>0$ i $a\ne1$. Zatem

$$\log_{a^{-2}}(a\sqrt3)-\log_{a^{-2}}\sqrt{3a} =\log_{a^{-2}}\sqrt a =\frac{1/2}{-2}=-\frac14.$$

d) Założenia: $a>0$ i $a\ne1$. Iloczyn argumentów jest równy

$$\frac{a^2\sqrt{18a}}2\cdot\frac{\sqrt{2a}}3 =\frac{a^2\sqrt{36a^2}}6=a^3,$$

więc $\log_{\sqrt a}a^3=6$.

a) Wykładnik upraszcza się do $\log_{a^2}16=\frac{\log_a16}{2}$. Podniesienie $a^{1/2}$ do tej potęgi daje $16^{1/4}=2$.

b) Wykładnik jest równy $\log_a\sqrt2$. Zatem $(a^{-2})^{\log_a\sqrt2}=(\sqrt2)^{-2}=\frac12$.

Przekształcamy kwadraty danych liczb:

$$a^2=\log_6 10,\qquad b^2=\log_6 7{,}2, \qquad c^2=2+\log_6 2=\log_6 72.$$

Stąd $a^2+b^2=\log_6(10\cdot7{,}2)=\log_6 72=c^2$. Liczby są dodatnie, więc na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa są bokami trójkąta prostokątnego.

Mamy $\log_8 2=\frac13$ i $\log_{\sqrt5}x=2\log_5x$. Ponadto $\log_3\sqrt{162}=2+\frac12\log_3 2$. Po skróceniu identycznych składników po obu stronach:

$$\frac23\log_5x+2=0,$$

czyli $\log_5x=-3$.

Z definicji $a=\log_2 3$ wynika $2^a=3$. Każdą potęgę sprowadzamy do podstawy $2$ i zastępujemy czynnik $2^a$ liczbą $3$.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $6$.

b) Otrzymujemy $\sqrt3$.

c) Otrzymujemy $\frac23$.

d) Otrzymujemy $\frac{64}{3}$.

e) Otrzymujemy $\frac{16}{9}$.

f) Otrzymujemy $\frac4{3^{8/3}}$.

g) Otrzymujemy $\frac{\sqrt2}{9}$.

h) Otrzymujemy $54$.