MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 262

Szukana funkcja ma postać $f(x)=\log_a x$, gdzie $a>0$ i $a\ne1$. Najpierw punkt $A$ wyznacza jedyną możliwą podstawę, a następnie sprawdzamy drugą współrzędną punktu $B$.

a) Z $\log_a9=2$ wynika $a^2=9$, zatem $a=3$. Ponadto $\log_3(3^{-1/3})=-\frac13$, więc taka funkcja istnieje.

b) Z $\log_a\sqrt2=-\frac12$ wynika $a=\frac12$, lecz $\log_{1/2}\frac12=1\ne-8$. Taka funkcja nie istnieje.

c) Z $\log_a2=\frac12$ wynika $a=4$, lecz $\log_4\frac14=-1\ne-2$. Taka funkcja nie istnieje.

d) Z $\log_a2=\frac13$ wynika $a=8$, lecz $\log_8\sqrt2=\frac16\ne\frac23$. Taka funkcja nie istnieje.

Punkty mają współrzędne $A=(\frac12,-1)$ i $B=(4,2)$. Prosta przez nie ma współczynnik kierunkowy $\frac67$ i równanie

$$y+1=\frac67\left(x-\frac12\right).$$

Dla $x=0$ otrzymujemy $y=-\frac{10}{7}$, a dla $y=0$ — $x=\frac53$.

Dla dowolnej funkcji logarytmicznej $f(4)=f(2^2)=2f(2)$. Ponieważ $f(2)\ne0$, mamy

$$\frac{f(4)+f(2)}{f(4)-f(2)} =\frac{3f(2)}{f(2)}=3.$$

Łączymy składniki w pojedyncze logarytmy i porównujemy ich argumenty, uwzględniając monotoniczność. Przykładowo w a) są to $a=\log_2 9$, $c=\log_2 10$, $b=\log_2\frac{32}{3}$.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $a<c<b$.

b) Otrzymujemy $a<c<b$.

c) Otrzymujemy $c<a<b$.

d) Otrzymujemy $b<a<c$.

Najpierw zapisujemy warunek $x>0$. Następnie potęgujemy nierówności; dla podstaw z $(0;1)$ zmieniamy ich zwrot. W c) korzystamy dodatkowo z $\log\sqrt x=\frac12\log x$, a w e) i f) usuwamy wartość bezwzględną przez rozpatrzenie dwóch nierówności.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $x\in(0;\frac{81}{16})$.

b) Otrzymujemy $x\in(0;81)$.

c) Otrzymujemy $x\in\langle0{,}01;10000\rangle$.

d) Otrzymujemy $x\in(\frac1{125};5)$.

e) Otrzymujemy $x\in\langle2;8\rangle$.

f) Otrzymujemy $x\in(0;\frac13)\cup(27;\infty)$.

Korzystamy z położenia argumentu względem $1$ i monotoniczności logarytmu. W e) łączymy składniki do $\log_{12}1{,}2>0$. W f) zauważamy, że $\log_{1/2}18<-4$, bo $18>16=(\frac12)^{-4}$.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $x<0$.

b) Otrzymujemy $x>0$.

c) Otrzymujemy $x>0$.

d) Otrzymujemy $x>0$.

e) Otrzymujemy $x>0$.

f) Otrzymujemy $x<0$.

Porównujemy argument z sąsiednimi całkowitymi potęgami podstawy. Na przykład $2^6<100<2^7$, zaś dla podstawy $\frac12$ mamy $(\frac12)^{-3}<9<(\frac12)^{-4}$.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $k=6$.

b) Otrzymujemy $k=1$.

c) Otrzymujemy $k=-2$.

d) Otrzymujemy $k=-4$.

e) Otrzymujemy $k=2$.

f) Otrzymujemy $k=-3$.

W każdym podpunkcie porównujemy wykres logarytmu z prostą lub hiperbolą. W a)–c) jedna strona rośnie, a druga maleje, więc odczytany punkt wspólny jest jedyny. W d) równanie jest równoważne $\log_3x=2x+6$; prosta leży nad wykresem logarytmu dla każdego $x>0$.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $x=2$.

b) Otrzymujemy $x=\frac12$.

c) Otrzymujemy $x=3$.

d) Otrzymujemy brak rozwiązań.