MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 259

Łączymy logarytmy. Wartości $a$ są kolejno równe $\log_2(16\sqrt2)=\frac92$, $\log_{\sqrt3}(3^{-9/2})=-9$ oraz $\log_{1/2}8=-3$. Wybieramy najmniejszą liczbę całkowitą ściśle większą od każdej z nich.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $5$.

b) Otrzymujemy $-8$.

c) Otrzymujemy $-2$.

Rozkładamy argumenty na czynniki związane z definicją $p$. Przykładowo w a) $p=\log_{1/2}2+a=-1+a$, a w d) $p=3\log_7 2$ oraz $a=1+2\log_7 2$.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $a=p+1$.

b) Otrzymujemy $a=2+\frac p2$.

c) Otrzymujemy $a=2p-1$.

d) Otrzymujemy $a=1+\frac{2p}{3}$.

Korzystamy z $\log6\approx0{,}8$ oraz rozkładamy liczby na iloczyny potęg $10$ i $6$. Na przykład $\log\frac{50}{3}=\log\frac{100}{6}\approx2-0{,}8$, a $\log(2\sqrt{15})=\frac12\log60$.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $2{,}8$.

b) Otrzymujemy $-1{,}2$.

c) Otrzymujemy $-0{,}4$.

d) Otrzymujemy $1{,}2$.

e) Otrzymujemy $0{,}2$.

f) Otrzymujemy $1{,}3$.

g) Otrzymujemy $0{,}9$.

h) Otrzymujemy $-0{,}1$.

Łączymy logarytmy o wspólnej podstawie. Otrzymujemy odpowiednio

Każde wyrażenie jest więc stałe w całej swojej dziedzinie.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $-\frac12$.

b) Otrzymujemy $-3$.

c) Otrzymujemy $\frac32$.

d) Otrzymujemy $-\frac32$.

Z $\log_ba=7$ mamy $a=b^7$. Zatem $a^3b^4=b^{25}$ oraz $ab=b^8$, więc szukany logarytm jest ilorazem wykładników $25$ i $8$.

a) Oznaczmy $u=\log_3 4$. Wtedy $\log_3 36=u+2$ i $(u+2)^2-u^2=4+4u$.

b) Niech $w=\log_6 3$, więc $\log_6 2=1-w$ i $\log_6 18=1+w$. Licznik jest równy $(1+w)^2-(1-w)^2=4w$; po podzieleniu przez $w$ otrzymujemy $4$.

Łączymy logarytmy, a wszystkie argumenty zapisujemy jako potęgi liczby $2$. Otrzymujemy kolejno $\log_3 2^{-1}$, $\log_3 2^{-6}$, $\log_3 2^{-2}$ i $\log_3 2^{-1}$.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $k=-1$.

b) Otrzymujemy $k=-6$.

c) Otrzymujemy $k=-2$.

d) Otrzymujemy $k=-1$.

Sumujemy lub odejmujemy wykładniki potęg o wspólnej podstawie. Dostajemy kolejno wykładniki $-1$, $\log_4\sqrt2=\frac14$, $\log_5 125=3$ oraz $\log_2\frac12=-1$.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $\frac12$.

b) Otrzymujemy $\sqrt[4]6$.

c) Otrzymujemy $27$.

d) Otrzymujemy $\frac15$.

Korzystając ze zmiany podstawy, sześć liczb upraszcza się kolejno do

Porównanie tych wartości rozstrzyga zadanie.