MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 258

Łączymy logarytmy o tej samej podstawie, korzystając z logarytmu iloczynu i ilorazu.

a)

b)

c)

d)

Upraszczamy ilorazy logarytmów za pomocą praw działań na logarytmach. Prawe strony równań są kolejno równe $\frac12$, $-\frac23$, $-2$ i $-1$. Następnie korzystamy z definicji logarytmu.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $x=2$.

b) Otrzymujemy $x=\frac14$.

c) Otrzymujemy $x=100$.

d) Otrzymujemy $x=\frac52$.

Zastępujemy stałe logarytmami przy właściwej podstawie i przenosimy współczynniki do wykładników argumentów. Następnie sumę lub różnicę logarytmów łączymy w jeden logarytm.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $\log\frac52$.

b) Otrzymujemy $\log_3(2\sqrt6)$.

c) Otrzymujemy $\log_5 36$.

d) Otrzymujemy $\log_3\frac1{\sqrt[5]2}$.

e) Otrzymujemy $\log_2\sqrt[3]{108}$.

f) Otrzymujemy $\log_4\sqrt{\frac38}$.

Łączymy wszystkie składniki w pojedynczy logarytm. Otrzymane argumenty to odpowiednio $\frac13$ przy podstawie $3$, $4$ przy podstawie $2$, $\frac15$ przy podstawie $5$ oraz $1000$ przy podstawie $10$.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $-1$.

b) Otrzymujemy $2$.

c) Otrzymujemy $-1$.

d) Otrzymujemy $3$.

Suma dwóch liczb jest logarytmem przy podstawie $4$ z iloczynu ich argumentów. Sprawdzamy dziesięć par. Iloczyn jest całkowitą potęgą $4$ tylko dla par: $12\cdot\frac43=16$, $\sqrt5\cdot\frac4{\sqrt5}=4$ oraz $\sqrt5\cdot\frac1{\sqrt5}=1$.

W a) oba nawiasy są równe $-1$. W b) licznik jest równy $\log_{\sqrt2}2=2$, a mianownik $\log_{\sqrt5}\frac15=-2$. W c) pary logarytmów dają $\log_2 4=2$ i $\log_3\frac19=-2$.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $1$.

b) Otrzymujemy $-1$.

c) Otrzymujemy $0$.

Sumę logarytmów zapisujemy jako logarytm iloczynu, a następnie dzielimy przez liczbę składników. Iloczyny są kolejno równe $125=5^3$, $\frac1{216}=6^{-3}$, zaś cztery wartości w c) to $8,6,4,2$.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $1$.

b) Otrzymujemy $-1$.

c) Otrzymujemy $5$.