MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 257

Rozdzielamy potęgi i wykorzystujemy definicję logarytmu. Przykładowo $49^{1/2+\log_7 3}=7\cdot(7^2)^{\log_7 3}=7\cdot9$ oraz $27^{2/3-2\log_3 2}=9/2^6$.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $18$.

b) Otrzymujemy $\frac25$.

c) Otrzymujemy $63$.

d) Otrzymujemy $\frac9{64}$.

Na głównej przekątnej suma wynosi $-3+0+3=0$, więc jest to suma magiczna. Z drugiego wiersza otrzymujemy $\log_{\sqrt{10}}c=-4$. Następnie pierwsza kolumna daje $\log_{\sqrt2}d=-1$, druga przekątna $\log_7b=1$, trzeci wiersz $\log_{1/3}e=-2$, a druga kolumna $\log_{1/2}a=2$. Zamieniamy te równania na potęgi.

Zewnętrzny logarytm jest równy $0$, więc jego argument wynosi $1$. Kolejno otrzymujemy

Dla każdej danej wartości w tabeli rozwiązujemy to równanie: przy $x=\frac12$ jest $y=2$; przy $y=1$ jest $x=1$; przy $x=\frac32$ jest $y=2^{-1/2}$.

Pierwszy składnik lewej strony jest równy $\log_{1/3}9=-2$. W drugim mamy $\sqrt[3]{2\sqrt2}=\sqrt2$, więc składnik ten jest równy $1$. Lewa strona ma zatem wartość $-1$.

Ponieważ $(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)=1$, podstawa prawego logarytmu jest odwrotnością argumentu. Prawa strona także jest równa $-1$, co dowodzi równości.

Argument logarytmu musi być dodatni. Daje to kolejno warunki $3-a>0$, $(3-a)^2>0$, $|a^2-4|>0$. W podpunkcie d) argument $|a|+2$ jest dodatni dla każdej liczby rzeczywistej.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $a<3$.

b) Otrzymujemy $a\ne3$.

c) Otrzymujemy $a\notin\{-2,2\}$.

d) Otrzymujemy $a\in\mathbb R$.

Nakładamy jednocześnie warunki: podstawa dodatnia i różna od $1$ oraz argument dodatni. Przykładowo w b) są to $a>\frac32$, $a\ne2$ oraz $a<4$.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $a\in(1;\infty)$.

b) Otrzymujemy $a\in(\frac32;2)\cup(2;4)$.

c) Otrzymujemy $a\in(-5;4)\cup(4;5)$.

Z definicji logarytmu otrzymujemy kolejno $(a+3)^2=16$, $(1-a)^2=36$, $|a-4|=6$ oraz $|a+7|^{-3}=\frac18$. W pierwszych dwóch równaniach odrzucamy ujemną wartość podstawy logarytmu.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $a=1$.

b) Otrzymujemy $a=-5$.

c) Otrzymujemy $a\in\{-2,10\}$.

d) Otrzymujemy $a\in\{-9,-5\}$.

Stosujemy definicję od zewnętrznego logarytmu do wewnętrznego. Otrzymujemy kolejno: $\log x=2$; $\log_3(x+1)=4$; $1+\log_5x=4$; $2-\log_{\sqrt3}x=1$. Wszystkie uzyskane liczby spełniają warunki dodatniości argumentów.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $x=100$.

b) Otrzymujemy $x=80$.

c) Otrzymujemy $x=125$.

d) Otrzymujemy $x=\sqrt3$.

Korzystamy z $a^{\log_a u}=u$. W b) równanie ma postać $3x^2=12$. W c), po zapisaniu $16=4^2$, dostajemy $(x+1)^2=9$, lecz warunek $x+1>0$ pozostawia tylko dodatni pierwiastek.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $x=-2$.

b) Otrzymujemy $x\in\{-2,2\}$.

c) Otrzymujemy $x=2$.