MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 256

Korzystamy z własności $a^{\log_a u}=u$ i, gdy potrzeba, najpierw zapisujemy podstawę potęgi jako potęgę podstawy logarytmu.

a) $11^{\log_{11}5}=5$.

b)

c) $5^{2\log_5 3}=(5^{\log_5 3})^2=3^2=9$.

d) $2^{3\log_2 5}=(2^{\log_2 5})^3=5^3=125$.

e)

f)

g) Ponieważ $5=(0{,}2)^{-1}$,

h) Ponieważ $2=(0{,}5)^{-1}$,

Z definicji logarytmu rozwiązujemy równanie $a^b=x$, zachowując warunki $a>0$ i $a\ne1$. Przykładowo $a^{-1/2}=\frac19$ daje $\sqrt a=9$.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $10$.

b) Otrzymujemy $0{,}1$.

c) Otrzymujemy $169$.

d) Otrzymujemy $81$.

e) Otrzymujemy $\frac32$.

f) Otrzymujemy $\frac23$.

Sprowadzamy wszystkie liczby do potęg liczby $2$:

Następnie zapisujemy każdą z otrzymanych liczb jako $\log_2(2^x)$.

Liczymy logarytmy wewnętrzne. Otrzymujemy odpowiednio argumenty logarytmów zewnętrznych: $4$, $0{,}1$, $1$ i $2$. Zatem $\log_2 4=2$, $\log0{,}1=-1$, $\log_{1{,}1}1=0$ i $\log_4 2=\frac12$.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $2$.

b) Otrzymujemy $-1$.

c) Otrzymujemy $0$.

d) Otrzymujemy $\frac12$.

W każdym podpunkcie podstawę i argument zapisujemy jako potęgi tej samej liczby. Wartość logarytmu jest ilorazem wykładników tych potęg.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $\frac32$.

b) Otrzymujemy $\frac23$.

c) Otrzymujemy $\frac34$.

d) Otrzymujemy $\frac54$.

e) Otrzymujemy $-\frac52$.

f) Otrzymujemy $\frac32$.

g) Otrzymujemy $-\frac13$.

h) Otrzymujemy $\frac12$.

i) Otrzymujemy $-\frac32$.

j) Otrzymujemy $-\frac23$.

k) Otrzymujemy $\frac52$.

l) Otrzymujemy $\frac43$.

m) Otrzymujemy $\frac34$.

n) Otrzymujemy $\frac83$.

o) Otrzymujemy $-\frac83$.

p) Otrzymujemy $\frac57$.

Licznik ułamka jest równy $2-1-\frac12=\frac12$. Mianownik ma wartość $-1-\frac12-(-2)=\frac12$. Stąd $A=1$, a logarytm liczby $1$ przy każdej dopuszczalnej podstawie jest równy $0$.

Upraszczamy liczby:

zaś wyrażenie pod zewnętrznym pierwiastkiem w liczbie $y$ jest równe $3^{-1/2}$, zatem $y=\log_{3^{-1/2}}3^{-1/4}=\frac12$. Między $\frac12$ a $4$ leżą liczby naturalne $1,2,3$.

Obliczamy współczynniki kierunkowe i wyrazy wolne:

Proste $k$ i $l$ mają ten sam współczynnik kierunkowy $-2$ i różne wyrazy wolne, więc są różnymi prostymi równoległymi. Ponadto

zatem prosta $m$ jest prostopadła zarówno do $k$, jak i do $l$.