MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 255

Korzystamy z równoważności $\log_a x=b\iff x=a^b$ i zapisujemy podstawy jako potęgi liczb pierwszych. Przykładowo $(2\sqrt2)^{4/3}=(2^{3/2})^{4/3}=2^2$ oraz $(\sqrt[3]3)^{-3/2}=3^{-1/2}$.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $49$.

b) Otrzymujemy $\frac1{16}$.

c) Otrzymujemy $4$.

d) Otrzymujemy $32$.

e) Otrzymujemy $4$.

f) Otrzymujemy $\frac{\sqrt3}{3}$.

Mamy $1024=2^{10}$. Jeżeli $a=2^r$, to $\log_a1024=\frac{10}{r}$; dla podstaw mniejszych od $1$ wykładnik $r$ jest ujemny.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $5$.

b) Otrzymujemy $2$.

c) Otrzymujemy $-10$.

d) Otrzymujemy $-2$.

e) Otrzymujemy $\frac52$.

f) Otrzymujemy $\frac53$.

g) Otrzymujemy $\frac{10}{7}$.

h) Otrzymujemy $\frac{10}{9}$.

Każdą liczbę logarytmowaną zapisujemy jako potęgę podstawy. Na przykład $2\frac14=(\frac23)^{-2}$, a $2{,}5=(0{,}16)^{-1/2}$.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $2$.

b) Otrzymujemy $3$.

c) Otrzymujemy $4$.

d) Otrzymujemy $-2$.

e) Otrzymujemy $-3$.

f) Otrzymujemy $-6$.

g) Otrzymujemy $\frac12$.

h) Otrzymujemy $-\frac12$.

i) Otrzymujemy $-\frac13$.

j) Otrzymujemy $-2$.

k) Otrzymujemy $-\frac32$.

l) Otrzymujemy $-\frac12$.

Sprowadzamy podstawę i argument do tej samej potęgi. Przykładowo $4\sqrt2=2^{5/2}$, $32=2^5$, więc drugi logarytm jest równy $2$. Analogicznie $\sqrt{0{,}2}=5^{-1/2}$ i $125=5^3$.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $4$.

b) Otrzymujemy $2$.

c) Otrzymujemy $-4$.

d) Otrzymujemy $-6$.

e) Otrzymujemy $\frac32$.

f) Otrzymujemy $-\frac14$.

g) Otrzymujemy $\frac16$.

h) Otrzymujemy $\frac23$.

Porównujemy argument z kolejnymi całkowitymi potęgami podstawy, pamiętając, że dla podstawy z $(0;1)$ nierówności między potęgami odwracają kolejność. Na przykład $3^2<10<3^3$, natomiast $(\frac12)^{-2}<5<(\frac12)^{-3}$.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $2$ i $3$.

b) Otrzymujemy $5$ i $6$.

c) Otrzymujemy $-3$ i $-2$.

d) Otrzymujemy $3$ i $4$.

e) Otrzymujemy $1$ i $2$.

f) Otrzymujemy $-4$ i $-3$.

g) Otrzymujemy $3$ i $4$.

h) Otrzymujemy $-1$ i $0$.

Oznaczmy $t=\log x$. Wtedy

$$W(x)=\frac{|t-2|}{t+1-\frac12}=\frac{|t-2|}{t+\frac12}.$$

Dla $x=10,1000,\sqrt{10}$ wartości $t$ są kolejno równe $1,3,\frac12$. Podstawienie daje wskazane wyniki.

Zapisujemy wszystkie podstawy i argumenty jako potęgi liczby $10$. Podane logarytmy mają kolejno wartości

$$-\frac12,\quad \frac23,\quad 3,\quad -4,\quad -\frac14.$$

Porządkujemy te liczby na osi liczbowej.

Obliczamy od najbardziej wewnętrznego logarytmu. Przykładowo w podpunkcie e) otrzymujemy kolejno $\frac52$, $5$, $1$ i $0$. W podpunkcie f) każdy z trzech kolejnych argumentów po uproszczeniu jest równy $8$.

Dla kompletności zapisujemy wynik rachunku oddzielnie dla każdego podpunktu; w każdym zastosowano regułę wyprowadzoną wyżej:

a) Otrzymujemy $2$.

b) Otrzymujemy $3$.

c) Otrzymujemy $2$.

d) Otrzymujemy $2$.

e) Otrzymujemy $0$.

f) Otrzymujemy $3$.