MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 254

a) Pierwszy warunek daje $2^{-1+2x}\le2$, czyli $x\le1$. Drugi daje $2^{2x-1}\ge2^{-3}$, czyli $x\ge-1$. Część wspólna to $[-1,1]$.

b) Zbiór $A$ spełnia $x^2<4$, więc $A=(-2,2)$. Zbiór $B$ spełnia $x^2>1$, więc $B=(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$.

Pierwsza nierówność daje $|x|<3$, a druga $\frac32|x|>\frac12$, czyli $|x|>1/3$. Następnie wykonujemy zwykłe działania na przedziałach.

Parabola nie przecina osi $OX$, gdy jej wyróżnik jest ujemny: $\Delta=(2^m)^2-4\sqrt2=2^{2m}-2^{5/2}<0.$ Ponieważ podstawa $2$ jest większa od $1$, otrzymujemy $2m<5/2$, czyli $m<5/4$.

Zauważamy, że $19-8\sqrt3=(4-\sqrt3)^2$. Podstawa $4-\sqrt3$ jest dodatnia i różna od $1$, więc porównujemy wykładniki: $3x-1=2(2-x)$. Stąd $5x=5$.

Wyłączamy w każdym równaniu wspólną potęgę.

a) $3^{2x-2}(1+3)=36$, więc $3^{2x-2}=9$ i $x=2$. b) $(1/2)^{x-2}(2-1/8)=15/2$, więc $(1/2)^{x-2}=4$ i $x=0$. c) $2^{x-1}(1+2+4)=28$, więc $2^{x-1}=4$ i $x=3$. d) Po wyłączeniu $3^{1-2x}$ zostaje czynnik $3-1+9=11$. Równanie $11\cdot3^{1-2x}=33$ daje $x=0$. e) Dla $t=5^{x^2}>0$ otrzymujemy $5t-25/t=20$, czyli $t^2-4t-5=0$. Dodatni pierwiastek to $t=5$, więc $x=\pm1$. f) Dla $t=10^{x^2}>0$ równanie $10t-10/t=99$ ma dodatni pierwiastek $t=10$, zatem $x=\pm1$.

a) Lewa strona to $32^{|x|}=2^{5|x|}$. Równość z $2^6$ daje $|x|=6/5$.

b) Oba moduły są równe. Po wyłączeniu $6^{|x-2|}$ zostaje $2\cdot6^{|x-2|}=72$, więc $|x-2|=2$.

c) Wyłączamy $4^{|x|-1}$: $4^{|x|-1}(6-16)=-5$. Stąd $4^{|x|-1}=1/2=4^{-1/2}$ i $|x|=1/2$.

Nierówność potęgowa jest równoważna $2^{-5/2}\le2^x\le2^{5/2},$ czyli $x\in[-5/2,5/2]$. Ten domknięty przedział ma być zawarty w otwartym przedziale $(-m,m)$. Konieczne i wystarczające jest więc $m>5/2$.

Wartości funkcji wykładniczej dla argumentów $x<1$ tworzą odpowiedni przedział wartości.

a) $0<5^x<5$, więc $0<2-3m<5$. Stąd $-1<m<2/3$. b) $0<2^{x+1}<4$, więc $0<m+1<4$. Stąd $-1<m<3$. c) Równanie ma postać $(4/3)^{-x}=(4/3)^{m+1}$, zatem $x=-m-1$. Warunek $x<1$ daje $m>-2$.

Ponieważ podstawa $1/2$ jest mniejsza od $1$, wartość funkcji jest co najmniej $1$ dokładnie wtedy, gdy wykładnik $E(x)=m-2mx-x^2$ jest niedodatni. Parabola $E$ jest skierowana w dół i ma maksimum dla $x=-m$: $E(-m)=m^2+m.$ Warunek $E(x)\le0$ dla każdego $x$ jest więc równoważny $m^2+m\le0$.

Parzyste liczby ściśle pomiędzy $2^n$ i $2^{n+1}$ tworzą ciąg od $2^n+2$ do $2^{n+1}-2$ o różnicy $2$. Ich liczba wynosi $\frac{(2^{n+1}-2)-(2^n+2)}2+1=2^{n-1}-1.$ Równanie $2^{n-1}-1=255$ daje $2^{n-1}=256=2^8$.

Porównujemy wykładniki potęg o podstawie $2$.

a) $2^{2x-4}\le2^{2y}\le2^{2x+4}$ daje $x-2\le y\le x+2$.

b) $2^{|x|-2}\le2^{-|y|}$ daje $|x|-2\le-|y|$, czyli $|x|+|y|\le2$.