MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 253

Sprowadzamy obie strony do tej samej podstawy.

a) $2^{-2x}=2^5$, więc $x=-5/2$. b) $2^{x/2}=2^{2/3}$, więc $x=4/3$. c) $(8/5)^x=(8/5)^{-2}$, więc $x=-2$. d) $(2/5)^x=(5/2)^3=(2/5)^{-3}$, więc $x=-3$.

Elementy zbioru $W$ to potęgi $2$ o wykładnikach $-4,-1,0,3,7$. Dla każdej funkcji porównujemy jej wykładnik przy podstawie $2$ z tymi pięcioma liczbami.

a) Lewa strona to $2^{-5x+3x}=2^{-2x}$. Równanie $2^{-2x}=2^5$ daje $x=-5/2$.

b) Po zastąpieniu $0{,}4=2/5$ otrzymujemy $(5/2)^{-(x-1)+2x+1}=(5/2)^{x+2}=1$, więc $x=-2$.

c) Lewa strona to $(27\cdot8)^{x+1}=216^{x+1}=6^{3x+3}$. Równość z $36=6^2$ daje $x=-1/3$.

Punkt wykresu leży pod prostą poziomą, gdy wartość funkcji jest ściśle mniejsza od podanej stałej.

a) $2^{2x}<2^3$, więc $x<3/2$. b) $12^{x/2}<12^{1/3}$, więc $x<2/3$. c) $(\sqrt3/2)^x<(\sqrt3/2)^{-2}$; podstawa jest mniejsza od $1$, więc $x>-2$. d) $(\sqrt2-1)^x<1$ dla $x>0$.

Porównujemy wykładniki, pamiętając o odwróceniu nierówności dla podstawy z $(0,1)$.

a) $3x+4\le0$, więc $x\le-4/3$. b) $3^{x/2}>3^3$, więc $x>6$. c) $x^2-x<2$, stąd $-1<x<2$. d) $-2(x^2+4x)<3$, czyli $2x^2+8x+3>0$; rozwiązania leżą poza pierwiastkami. e) $3-2x>-1$, więc $x<2$. f) $x^2-4\le0$, więc $-2\le x\le2$.

Przyjmujemy konwencję $0\in\mathbb N$.

a) Dla podstawy $1/7$ nierówność daje $8x-25\le2$, czyli $x\le27/8$. Pasują $0,1,2,3$.

b) $7\le-x^2+8x$ jest równoważne $x^2-8x+7\le0$, więc $1\le x\le7$. Pasuje siedem liczb naturalnych.

c) Lewa strona to $8\cdot3^{2x-2}$. Warunek $8\cdot3^{2x-2}<8$ daje $x<1$, więc pasuje tylko $x=0$.

Sprowadzamy strony do wspólnej podstawy.

a) $(3/5)^{x-2}=(3/5)^{-x-1}$, więc $x=1/2$. b) $3^{\frac43(x+1)}=3^{4(2-x)}$, więc $x=5/4$. c) $2^{-\frac32(x-1)}=2^{3+3x}$, więc $x=-1/3$. d) Ponieważ $(\sqrt{10}/3)^2=10/9$, prawa strona ma wykładnik $8x$ przy podstawie $\sqrt{10}/3$. Równanie $3x^2-3=8x$ daje $x=3,-1/3$. e) $x^2-3=-2x$, więc $x=-3,1$. f) Porównanie wykładników podstawy $2$ daje $2x^2-8=-2x^2$, czyli $x=\pm\sqrt2$.

Wszystkie składniki zapisujemy przy podstawie $3$: $3^{x+2}$, $3^{x+4}$ i $3^{x+3}$. Ich średnia wynosi $\frac{3^x(9+81+27)}3=39\cdot3^x.$ Równanie $39\cdot3^x=13/9$ daje $3^x=1/27=3^{-3}$.

a) Przy podstawie $2$ porównujemy wykładniki: $\frac{-x^2+1}{2}>\frac12-2x.$ Po uproszczeniu $x(4-x)>0$, zatem $0<x<4$.

b) Dla $q=\sqrt3/2<1$ mamy $4/3=q^{-2}$ oraz $3/4=q^2$. Lewa strona jest równa $q^{4x-7}$. Nierówność $q^{4x-7}<q^2$ odwraca porządek wykładników: $4x-7>2$.

Suma długości dwunastu krawędzi wynosi