MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 252

Upraszczamy oba moduły: $f(x)=\frac12|2(2^x-2)|=|2^x-2|,$ $g(x)=2\left|\frac{2-2^x}{2}\right|=|2-2^x|=|2^x-2|.$ Zatem $f(x)=g(x)$ dla każdego $x$ i $h(x)=f(x)-g(x)=0$.

Prosta $y=16$ przecina wykres dla $|x|=4$. Wewnątrz ograniczonej figury wybieramy prostokąt nad przedziałem $[-2,2]$: tam $2^{|x|}\le4$, więc jego wysokość wynosi $12$, a pole $4\cdot12=48$.

Na przedziałach $[-3,-2]$ i $[2,3]$ mamy $2^{|x|}\le8$, więc mieszczą się dwa dalsze prostokąty o łącznym polu $2\cdot1\cdot8=16$. Te rozłączne prostokąty mają razem pole $64>60$, zatem cała figura ma pole większe niż $60$.

W obu układach wprowadzamy $t=|x|\ge0$.

a) Z równań mamy $y=4-t$ i $y=2^t-2$. Równanie $2^t+t=6$ ma rozwiązanie $t=2$, więc $x=\pm2$, $y=2$.

b) Otrzymujemy $y=2+2^{t-1}$ oraz $y=2^t-2$. Dla $u=2^{t-1}$ równanie ma postać $2+u=2u-2$, stąd $u=4$, $t=3$ i $y=6$.

Ze skanu odczytujemy asymptotę $y=-2$ i miejsce zerowe $x=1$, więc $f(x)=2^x-2$.

a) $|f|+f>0$ dokładnie dla $f>0$, czyli $x>1$.

b) Rozpatrzenie gałęzi $x\le1$ i $x\ge1$ daje $2|2^x-2|\le x+2$ dokładnie dla $0\le x\le2$.

c) Dla $x<0$ czynnik $f(x)$ jest ujemny; iloczyn ma znak ujemny wtedy, gdy $f(|x|)>0$, czyli $|x|>1$. Stąd $x<-1$.

d) Zestawiamy znaki $x(2-x)$ i $f(|x|)$; iloczyn jest nieujemny na $[-1,0]$ oraz $[1,2]$.

Liczbę rozwiązań odczytujemy jako liczbę przecięć wykresu modułu z prostą $y=m$.

a) Funkcja $|t-4|$ dla $t=3^{x-3}>0$ ma jedno minimum $0$ i lewą gałąź o wartościach mniejszych niż $4$. Stąd liczba przecięć wynosi kolejno $0,1,2,1$ dla $m<0$, $m=0$, $0<m<4$, $m\ge4$.

b) Analogiczny próg dla $|(1/4)^x-2|$ wynosi $2$.

c) Funkcja $(1/3)^{|x|}$ przyjmuje wartości $(0,1]$: wartość z $(0,1)$ dwukrotnie, wartość $1$ raz.

a) Dla prawej strony $c=4-m$ równanie $2^{|x-1|}=c$ ma dwa rozwiązania, gdy $c>1$. Oba są dodatnie, gdy $1-\log_2c>0$, czyli dodatkowo $c<2$. Stąd $1<4-m<2$.

b) Dwa rozwiązania pochodzą z równań $2^x=2\pm2^m$. Mniejsze z nich jest dodatnie dokładnie wtedy, gdy $2-2^m>1$, czyli $2^m<1$.

Ze względu na parzystość przyjmujemy $t=|x|\ge0$ i badamy $H(t)=|3^t-3|-3-t=m.$ Dla $0\le t\le1$ mamy $H(t)=-3^t-t$: funkcja maleje od $-1$ do $-4$. Dla $t\ge1$ mamy $H(t)=3^t-t-6$: funkcja rośnie od $-4$ do nieskończoności. Każde rozwiązanie $t>0$ daje dwa symetryczne punkty, a $t=0$ tylko jeden.