MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 251

Wspólne punkty otrzymujemy po rozpatrzeniu znaków wyrażeń pod modułem.

a) Prawa strona jest nieujemna tylko dla $x\in[-2,0]$. Sprawdzenie gałęzi daje rozwiązania $x=-1$ i $x=0$, z wartościami odpowiednio $1$ i $0$.

b) Porównanie gałęzi dla $|x-2|$ daje jedyne rozwiązanie $x=2$; obie funkcje mają wtedy wartość $1$.

a) Po zapisaniu prawej strony jako $2^{2-x}$ porównujemy wykładniki: $|x-2|=2-x$. Równość zachodzi dla każdego $x\le2$.

b) Prawa strona to $4-4^x$. Dla $x\le1$ jest nieujemna, a wtedy $|4^x-4|=4-4^x$. Dla $x>1$ równość nie zachodzi.

Punkty graniczne odczytujemy z przecięć i sprawdzamy podstawieniem.

a) Równość zachodzi dla $x=-1$ oraz $x=2$. Między tymi punktami lewa strona nie przekracza prawej.

b) Równość zachodzi dla $x=-2$ i $x=-1$. Pomiędzy nimi prosta leży poniżej lub na wykresie $-3^{|x+1|}$.

a) Mianownik zeruje się, gdy $|2^{|x|}-4|=4$. Jedyna możliwa gałąź daje $2^{|x|}=8$, czyli $x=\pm3$.

b) Warunek $|2^x-8|-8\ge0$ sprowadza się do $2^x\ge16$, więc $x\ge4$.

c) Wyrażenie pod pierwiastkiem w mianowniku musi być dodatnie: $2^{|x|-1}>1/2$, czyli $|x|>0$.

Dla $x\le0$ mamy $|x|=-x$, więc $g(|x|)=(1/3)^{-x}=3^x=f(x)$. Dla $x>0$ definicja $h$ również daje $f(x)$. Zatem $h=f$.

Analogicznie dla $x\le0$ zachodzi $f(|x|)=3^{-x}=g(x)$, a dla $x>0$ druga gałąź $k$ jest równa $g(x)$. Stąd $k=g$.

Podstawa $\sqrt3/2$ należy do $(0,1)$. Potęga $(\sqrt3/2)^{|x-2|}$ ma maksimum $1$ dla $x=2$ i dąży do $0$. Stąd $f(D)=(3,4]$. Oś symetrii to $x=2$, a asymptota $y=3$, więc przecinają się w $(2,3)$.

Dla $g(x)=-f(-x)$ najmniejsza wartość to $-4$ i występuje, gdy $-x=2$, czyli dla $x=-2$.

a) $g(x)=2^{x-|x|}$. Dla $x<0$ jest to $2^{2x}$, a dla $x\ge0$ — $1$. Funkcja rośnie do $1$, następnie jest stała.

b) $g(x)=2^{|x|+|x-2|}$. Wykładnik wynosi $2-2x$ dla $x\le0$, $2$ dla $0\le x\le2$ i $2x-2$ dla $x\ge2$. Stąd funkcja maleje, jest stała, a potem rośnie; jej minimum wynosi $4$.

Funkcja $f$ jest równa $2^{|x-1|}+2$: maleje do minimum $3$ dla $x=1$, a potem rośnie.

a) Po zastąpieniu argumentu przez $|x|$ punkty zmiany to $-1,0,1$. Kolejne kierunki to: maleje, rośnie, maleje, rośnie.

b) Równania $f(x)=6$ dają $x=-1$ i $x=3$. Moduł $|f-6|$ odbija części poniżej poziomu $6$, co daje punkty zmiany $-1,1,3$.