MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 250

Wyznaczamy punkt, w którym wyrażenie pod wartością bezwzględną zmienia znak.

a) $(\sqrt2)^x=2$ dla $x=2$. Funkcja maleje do zera na $(-\infty;2\rangle$, potem rośnie; dla $x\to-\infty$ dąży do $2$.

b) $3^{x-1}=3$ dla $x=2$. Tak samo funkcja maleje do zera, a następnie rośnie; jej lewostronną asymptotą jest $y=3$.

c) $(1/2)^{x-2}=4$ dla $x=0$. Funkcja maleje do zera na $(-\infty;0\rangle$, potem rośnie ku asymptocie $y=4$.

Wartość bezwzględna argumentu daje symetrię względem pionowej prostej przechodzącej przez punkt, w którym jej wnętrze jest zerem.

a) Minimum $2$ występuje dla $x=0$; oś symetrii to $x=0$. b) Minimum $1$ występuje dla $x=-1$; oś symetrii to $x=-1$. c) Funkcja jest równa $2\cdot2^{|x|}$, ma minimum $2$ i oś $x=0$.

Wszystkie wzory zależą od $|x|$, więc wykresy są symetryczne względem osi $OY$.

a) Dla $x<0$ wartość maleje od $0$ do $-1$, a dla $x>0$ rośnie od $-1$ do $0$. b) Dla $x<0$ funkcja maleje do wartości $1$, a dla $x>0$ rośnie. c) $(1/2)^{-|x|}=2^{|x|}$, więc ma te same przedziały monotoniczności co b).

Dla $x\ge0$ mamy $h(x)=f(x)$, więc równość z $g(x)=|f(x)|$ zachodzi dokładnie tam, gdzie $f(x)\ge0$. Dla $x<0$ porównujemy $f(x)$ z $f(-x)$; monotoniczność pokazuje, że dodatkowych punktów nie ma.

a) $8-2^x\ge0$ dla $0\le x\le3$. b) Funkcja $f$ jest dodatnia dla każdego $x$, więc wszystkie $x\ge0$ pasują. c) $1-(1/2)^x\ge0$ dla każdego $x\ge0$.

a) $g(x)=|2^{-x}-4|$. Minimum $0$ występuje dla $x=-2$.

b) $g(x)=|2^{x+1}-1|$. Minimum $0$ występuje dla $x=-1$.

c) $g(x)=2^{|x|}-2$. Najmniejsza wartość to $-1$, a równanie $2^{|x|}=2$ daje $x=\pm1$.

d) $g(x)=-2^{|x+2|}$. Największa wartość to $-1$, więc miejsc zerowych brak.

Obie strony są funkcjami parzystymi. Dla $t=|x|\ge0$ lewa strona $(1/2)^t+2$ ściśle maleje, a prawa $2{,}5t$ ściśle rośnie. Przecinają się dla $t=1$, bo $1/2+2=2{,}5$. Jest to jedyne przecięcie dla $t\ge0$. Lewa strona leży wyżej dla $0\le t\le1$.

Kolejno rozwiązujemy równania wynikające z wartości bezwzględnych. $f_1$ jest dodatnia, więc nie ma zer. $f_2=0$ daje $2^x=4$ — jedno zero. $f_3=0$ oznacza $|2^x-4|=2$, czyli dwie dodatnie wartości $2^x$. $f_4=0$ oznacza $||2^x-4|-2|=1$; otrzymujemy cztery dodatnie wartości $2^x$: $1,3,5,7$.

Na przedziale $\langle-2;4\rangle$ liczba $t=|x|$ przebiega $[0,4]$, a $(\sqrt2)^t$ przebiega od $1$ do $4$. Wartość pod modułem jest więc niedodatnia i $f(x)=(\sqrt2)^{|x|}-4$. Minimum $-3$ występuje dla $|x|=0$, a maksimum $0$ dla $|x|=4$. W zadanym przedziale tylko $x=4$ spełnia drugi warunek.