MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 249

Sprowadzamy $g$ do postaci $f(x-p)+q$.

a) $g(x)=4^{x+2}+4=f(x+2)+4$, więc $[-2,4]$. b) $g(x)=(1/9)^{x-1}-1=f(x-1)-1$, więc $[1,-1]$. c) $g(x)=2^{6-x}-3=f(x-5)-6$, więc $[5,-6]$. d) $g(x)=f(x+6)-7$, więc $[-6,-7]$. e) $g(x)=f(x+3)-2$, więc $[-3,-2]$. f) $g(x)=f(x-6)-1$, więc $[6,-1]$. g) $f(x)=3^{x+4{,}5}-1$, zatem $g(x)=f(x-9)+1$ i wektor to $[9,1]$.

Punkty mają współrzędne $A=(c,0)$, $B=(c,2^{c-1})$ oraz $C=(c,2^c)$. Środek odcinka $AC$ ma współrzędne $\left(c,\frac{0+2^c}{2}\right)=(c,2^{c-1})=B.$ Zatem punkt $B$ jest środkiem odcinka $AC$.

Punkt wykresu należący do kwadratu musi spełniać $4\le x\le8$ oraz $4\le2^{x-p}\le8$. Drugi warunek jest równoważny $2\le x-p\le3$. Przedziały $[4-p,8-p]$ i $[2,3]$ muszą mieć część wspólną. Warunki $4-p\le3$ i $8-p\ge2$ dają odpowiednio $p\ge1$ i $p\le6$.

Miejsce zerowe spełnia $3^{-x}-3^x=0$, czyli $3^{-x}=3^x$. Równość potęg o tej samej podstawie daje $-x=x$, stąd jedyne miejsce zerowe to $x=0$. Liczba miejsc zerowych wynosi więc $1$, a zatem jest nieparzysta.

Rysujemy pary krzywych zadanych przez oba równania i sprawdzamy odczytane przecięcia w układzie.

a) Punkty $(2,0)$ oraz $(4,4)$ spełniają oba równania.

b) Z pierwszego równania $y=2^{1-x}$. Punkty $(-1,4)$ oraz $(1,1)$ spełniają także równanie $2xy=5x-3$; wykresy nie mają innych przecięć.

Odbicie punktu o odciętej $x$ względem prostej $x=1$ ma odciętą $2-x$. Dla funkcji $f$ wartość w tym odbitym argumencie wynosi $f(2-x)=a^{2(2-x)-1}=a^{3-2x}=g(x).$ Każdy punkt wykresu $g$ jest więc odbiciem odpowiedniego punktu wykresu $f$ względem prostej $x=1$.