MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 248

Ponieważ $(1/2)^{3-x}=2^{x-3}$, oznaczamy $u=2^{x-3}>0$. Równanie przecięcia ma postać $u-3=1-u$, więc $u=2$. Stąd $x-3=1$, czyli $x=4$, a wspólna wartość wynosi $-1$.

Punkty równości otrzymujemy dla $x=1$ i $x=2$. Funkcja $3^{x-1}-2-(2x-3)$ jest wypukła; pomiędzy zerami jest ujemna, a poza nimi nieujemna. Końce należą do zbioru, bo nierówność jest nieostra.

Upraszczamy wzory i rozwiązujemy podwójne nierówności.

a) $f(x)=2^{5-x}$. Z $1<f(x)<4$ wynika $0<5-x<2$, czyli $3<x<5$.

b) $f(x)=4^{x+1}$. Warunek $1<f(x)<4$ daje $-1<x<0$.

c) $f(x)=2+2^{-x}$. Warunek $2<f(x)<4$ sprowadza się do $0<2^{-x}<2$, czyli $x>-1$.

d) $f(x)=2^{-2x}-1$. Z $0<f(x)<3$ otrzymujemy $1<2^{-2x}<4$, czyli $-1<x<0$.

Mamy $0{,}25^{-x/2}=2^x$, więc $f(x)=4\cdot2^x=2^{x+2}$.

Asymptota funkcji $g(x)=3^{x+a}+b$ ma równanie $y=b$, stąd $b=-7$. Dla $x=-1$ funkcja $f$ przyjmuje wartość $2$. Warunek przecięcia daje $3^{a-1}-7=2$, czyli $3^{a-1}=9$ i $a=3$.

Ze skanu odczytujemy asymptotę $y=-3$ oraz zaznaczony punkt $(3,1)$. Stąd $b=-3$ i $2^{3+a}-3=1$, więc $a=-1$ oraz $f(x)=2^{x-1}-3$.

b) $f(x)+f(x+1)=3\cdot2^{x-1}-6$. Równość z zerem daje $2^{x-1}=2$, czyli $x=2$.

c) Iloczyn jest nie dodatni dla $-2\le f(x)\le1$. Zatem $1\le2^{x-1}\le4$, czyli $1\le x\le3$.

Ze skanu odczytujemy asymptoty: czerwony wykres $f$ ma asymptotę $y=-1$, a niebieski wykres $g$ — $y=1$. Zatem $p=-1$, $q=1$ i $h(x)=(2^x-1)(2^x+1)=2^{2x}-1=4^x-1.$

a) Funkcja jest dodatnią wielokrotnością potęgi przesuniętą o $-3$, więc ma wartości $(-3;\infty)$. Dla $x=0$ otrzymujemy $(8-6)/2=1$.

b) Funkcja jest dodatnią wielokrotnością potęgi przesuniętą o $2$, więc ma wartości $(2;\infty)$. Dla $x=0$ otrzymujemy $(3+6)/3=3$.