MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 247

Sprowadzamy wzory do postaci $Cq^x$ i uwzględniamy znak stałej.

a) $\sqrt2>1$, więc funkcja jest rosnąca. b) $3^{-x+1}=3(1/3)^x$, więc jest malejąca. c) ${0{,}4}^{-x}=(2{,}5)^x$, więc jest rosnąca. d) $10^x$ rośnie, ale pomnożenie przez liczbę ujemną odwraca porządek.

Ze skanu odczytujemy asymptotę $y=-5$ oraz zaznaczony punkt $(-3,-1)$. Przesunięcie pionowe wynosi więc $q=-5$. Dla $g(x)=(1/\sqrt2)^{x-p}-5$ podstawienie punktu daje $(1/\sqrt2)^{-3-p}=4=(1/\sqrt2)^{-4}$, stąd $p=1$.

Zapisujemy $g(x)$ jako $f(x-p)$.

a) $g(x)=2^{x-5}=f(x-5)$, więc $\vec w=[5,0]$. b) $g(x)=2^{-x-3}=f(x+3)$, więc $\vec w=[-3,0]$. c) $g(x)=2^{x-2}=f(x-6)$, więc $\vec w=[6,0]$.

Szukamy $g(x)=a^x+b$.

a) Z układu $a+b=2$, $a^2+b=8$ otrzymujemy $a^2-a=6$. Dodatnim dopuszczalnym rozwiązaniem jest $a=3$, a $b=-1$.

b) Dla $u=1/a$ mamy $u+b=8$, $u^2+b=20$. Stąd $u^2-u=12$, więc $u=4$, $a=1/4$ i $b=4$.

Funkcja ma postać $2(1/2)^x-8$, więc jest malejąca. Dla $x=0$ otrzymujemy $y=-6$. Miejsce zerowe spełnia $2^{1-x}=8=2^3$, zatem $x=-2$.

Wykorzystujemy monotoniczność i wartości na końcach przedziałów.

a) Funkcja maleje: maksimum $f(0)=1$, minimum $f(4)=1/81$. b) Funkcja rośnie: maksimum $f(2)=2$; przy $x\to-\infty$ dąży do $0$, ale zera nie osiąga, więc minimum nie istnieje. c) Funkcja maleje: maksimum $f(-2)=13$, minimum $f(3)=-5/2$. d) $f(x)=3^{1-x}+1$ maleje: maksimum $f(-1)=10$, minimum $f(0)=4$.

Sprowadzamy lewą stronę do potęgi podstawy $2$ i porównujemy wykładnik z zerem.

a) $f(x)=2^{x+3}\le2^0$, więc $x\le-3$. b) $f(x)=2^{6-x}\le2^0$, więc $x\ge6$. c) $f(x)=2^{(x-5)/2}\le2^0$, więc $x\le5$.

Upraszczamy i porównujemy dodatnią potęgę z $1$.

a) $f(x)=5^{x+1}-5<0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $5^x<1$, czyli $x<0$. b) $f(x)=2^{3-x}-8<0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $2^{-x}<1$, czyli $x>0$. c) $f(x)=3^{x+3}-3<0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $3^{x+2}<1$, czyli $x<-2$.