MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 246

Każdy wykres powstaje przez przesunięcie wykresu odpowiedniej potęgi wzdłuż osi $OX$. Punkt przecięcia z osią $OY$ otrzymujemy dla $x=0$:

a) $(1/2)^{-3}=8$; b) $(1/3)^2=1/9$; c) $(\sqrt3)^4=9$.

Dodanie stałej do funkcji wykładniczej przesuwa asymptotę $y=0$ i cały dodatni zbiór wartości o tę stałą.

a) Przesunięcie o $3$ w dół daje asymptotę $y=-3$ i wartości większe od $-3$. b) Przesunięcie o $2$ w górę daje asymptotę $y=2$ i wartości większe od $2$. c) Przesunięcie o $2$ w dół daje asymptotę $y=-2$ i wartości większe od $-2$.

Przesunięcie o $p$ w prawo zastępuje $x$ przez $x-p$, a przesunięcie pionowe dodaje stałą.

a) $g(x)=3^x+3$, wartości $(3;\infty)$. b) $g(x)=3^x-4$, wartości $(-4;\infty)$. c) $g(x)=3^{x-3}$, wartości $(0;\infty)$. d) $g(x)=3^{x+4}$, wartości $(0;\infty)$.

Jeśli $g(x)=f(x)+k$ i $x_0$ jest miejscem zerowym, to $k=-f(x_0)$.

a) $f(0)=2$, więc $k=-2$. b) $f(-1)=4$, więc $k=-4$. c) $f(3)=1/4$, więc $k=-1/4$.

Odczytujemy z siatki asymptoty oraz charakterystyczne punkty. Wykres $f_1$ ma asymptotę $y=2$ i powstał bez przesunięcia poziomego, zatem $\vec v_1=[0,2]$. Wykres $f_2$ ma tę samą asymptotę co $f$, a punkt o wartości $2$ osiąga dla $x=0$ zamiast dla $x=2$, więc przesunięto go o $2$ w lewo. Wykres $f_3$ ma asymptotę $y=2$, a z siatki (m.in. z położenia punktu odpowiadającego $(0,1)$) odczytujemy przesunięcie o $3$ w prawo.

Po przesunięciu o $[p,q]$ nowy wzór ma postać $g(x)=f(x-p)+q$.

a) $g(x)=2^{x-2}+3$, więc $g(4)=7$. b) $g(x)=3^{x-2}-2$, więc $g(4)=7$. c) $g(x)=(1/7)^{x-5}$, więc $g(4)=7$. d) $g(x)=2^{x-1}-1$, więc $g(4)=7$.

Dla $g=-f$ punkt wspólny z $f$ spełnia $f(x)=0$. Dla $h(x)=f(-x)$ porównujemy wartości funkcji w argumentach przeciwnych.

a) $g(x)=3-(1/3)^x$, $h(x)=3^x-3$. Przecięcia z $f$ to odpowiednio $(-1,0)$ i $(0,-2)$.

b) $g(x)=1-2^x$, $h(x)=2^{-x}-1$. Oba przecinają $f$ w $(0,0)$.

c) $g(x)=1-4^{x+1}$, $h(x)=4^{1-x}-1$. Przecięcia z $f$ to $(-1,0)$ oraz $(0,3)$.