MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 245

Podstawa $\sqrt5/2$ jest większa od $1$, a $(\sqrt5/2)^{-2}=4/5$, $(\sqrt5/2)^2=5/4$ i $(\sqrt5/2)^4=25/16$.

a) Warunek zachodzi dla $x<0$. b) Warunek zachodzi dla $x>2$. c) Z monotoniczności otrzymujemy $-2<x<4$.

a) $x=2^{\sqrt2}$, natomiast $y=2^{\frac{3\sqrt2}{2}}$. Ponieważ $\frac{3\sqrt2}{2}>\sqrt2$, mamy $y>x$.

b) Po podniesieniu obu dodatnich liczb do potęgi $2/\sqrt3$ porównujemy $3^{\sqrt2}$ z $6$. Zachodzi $\sqrt2<3/2$, zatem $3^{\sqrt2}<3\sqrt3<6$. Potęgowanie było rosnące, więc $x<y$.

Zapisujemy zagnieżdżone pierwiastki jako potęgi.

a) Lewa strona jest równa $2^{15/8}$. Ponieważ $15/8<2$, mamy $2^{15/8}<2^2=4$.

b) Lewa strona jest równa $3^{40/27}$. Ponieważ $40/27<2$, mamy $3^{40/27}<3^2=9$.

Potęga o stałej dodatniej podstawie jest określona dla każdego rzeczywistego wykładnika; uwzględniamy więc tylko mianowniki i pierwiastki.

a) Brak ograniczeń. b) $x+3\ne0$. c) $x\ge0$. d) ${0{,}5}^x\ne1$, czyli $x\ne0$. e) Wyrażenie pod pierwiastkiem jest dodatnie, a mianownik zeruje się dla $2^{2x}=4$, czyli $x=1$. f) $5^{2x-3}\ge1$, więc $2x-3\ge0$.

Funkcja $q^x$ jest malejąca dokładnie dla $0<q<1$.

a) $0<3-m<1$, co daje $2<m<3$.

b) Podstawą względem $x$ jest $(1+1/m)^{-1}$. Należy ona do $(0,1)$ dokładnie wtedy, gdy $1+1/m>1$, czyli $m>0$.

c) Podstawa względem $x$ to $(3-|m|)^{-1}$. Warunek $0<(3-|m|)^{-1}<1$ jest równoważny $3-|m|>1$, czyli $|m|<2$.

Dla funkcji wykładniczej $f(u+v)=f(u)f(v)$ oraz $f(ku)=f(u)^k$.

a) $f(4s)=f(s)^4=(1/2)^4=1/16$. b) $f(-t/2)=f(t)^{-1/2}=4^{-1/2}=1/2$. c) $f(s+t)=f(s)f(t)=2$. d) $f(t-2s)=f(t)/f(s)^2=4/(1/4)=16$.

Porównujemy wykresy obu stron; otrzymane punkty graniczne sprawdzamy podstawieniem.

a) Po pomnożeniu przez $5^x>0$ dostajemy $5^{2x}\ge1$, więc $x\ge0$.

b) Wykresy mają punkty wspólne dla $x=-1$ i $x=0$. Lewa strona jest większa od $1$ między nimi, a mniejsza poza tym przedziałem.

c) Po prawej stronie występuje asymptota $x=-1$. Wykresy przecinają się dla $x=0$ i $x=1$; żądana nierówność zachodzi na $(-\infty;-1)$ oraz $(0;1)$.

d) Punkty równości to $x=-2$ i $x=0$. Iloczyn nie przekracza $2$ dla $x\le-2$ oraz w pojedynczym punkcie $x=0$.

a) Dla rosnącej funkcji $6^x$ i ujemnego argumentu zbiorem wartości jest $(0,1)$. Warunek $0<2m-3<1$ daje $3/2<m<2$.

b) Podstawa $\sqrt3/2$ jest mniejsza od $1$, więc dla ujemnego argumentu wartość należy do $(1,\infty)$. Nierówność $m/(m+1)>1$ jest równoważna $-1/(m+1)>0$, czyli $m<-1$.

Dla $a=\sqrt3/3=3^{-1/2}$ mamy $\frac{f(x-n)}{f(x+n)}=a^{(x-n)-(x+n)}=a^{-2n}=3^n.$ Wynik nie zawiera $x$, a dla $n\in\mathbb N$ jest liczbą naturalną. Dla $n=3$ otrzymujemy $3^3=27$.