MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 244

Każda podstawa należy do $(0,1)$, więc większemu wykładnikowi odpowiada mniejsza wartość. Porządkujemy zatem wykładniki malejąco.

a) $2{,}5>2\frac15>\frac25$. b) $0{,}88>0{,}78>0{,}77$. c) $\frac32>0{,}9>\frac23$. d) $0{,}101>0{,}1001>0{,}011>0{,}0101>0{,}0011$. e) $\sqrt{0{,}9}>\sqrt{0{,}81}>\frac{\sqrt3}{3}>\frac13>0{,}3$. f) $-1{,}2>-1{,}33>-1{,}(3)>-1\frac12>-1{,}8$.

Wyłączamy wspólne potęgi: $x=3^{\sqrt3-1}(1-\sqrt3+\sqrt3)=3^{\sqrt3-1},$

Dla podstawy większej od $1$ funkcja wykładnicza zachowuje porządek wykładników, a dla podstawy z $(0,1)$ go odwraca.

a) Z $2<3$ i $a^2<a^3$ wynika $a>1$. b) Mimo $1/2>1/3$ zachodzi nierówność odwrotna, więc $0<a<1$. c) $\sqrt2<\sqrt3$, lecz wartość po lewej jest większa, więc $0<a<1$. d) $\sqrt2-1<2-\sqrt2$, a wartość dla mniejszego wykładnika jest większa; znów $0<a<1$.

Porównujemy prawą stronę z $1$ i wykorzystujemy monotoniczność.

a) Podstawa jest mniejsza od $1$, a wynik większy od $1$, więc $x<0$. b) Podstawa jest większa od $1$, a wynik mniejszy od $1$, więc $x<0$. c) Dla podstawy $7/8$ nierówność oznacza $3>3-x$, czyli $x>0$. d) Podstawa jest większa od $1$, więc $x+\sqrt2<\sqrt2$ i $x<0$. e) Z dziedziny $x+1>0$. Ponieważ $3/4<5/6$, nierówność wymaga $x+1>1$, zatem $x>0$. f) Ponownie $x+1>0$. Dla wykładników $-3<0{,}3$ pierwsza potęga jest większa tylko przy $0<x+1<1$, czyli $-1<x<0$.

Sprowadzamy pary do wspólnej podstawy albo porównujemy wykładniki.

a) $\sqrt3>\sqrt2$ przy podstawie $3>1$, więc $a>b$. b) $a=0{,}8^{0{,}2}$, $b=0{,}8^{0{,}3}$; podstawa jest mniejsza od $1$, więc $a>b$. c) $a=2^{6/5}$, $b=2^{\sqrt2}$; ponieważ $6/5<\sqrt2$, mamy $a<b$. d) $a=(4/3)^{1{,}3}$, $b=(4/3)^{1{,}2}$, zatem $a>b$. e) Iloraz $a/b=12^{\sqrt2}>1$, więc $a>b$. f) Iloraz $a/b=2^{-1/10}3^{-1/5}<1$, więc $a<b$.

Podstawienie $x=0$ i $x=1$ daje w obu przypadkach odpowiednio wartości $1$ i $2$, więc są to dwa punkty przecięcia. Między nimi, na przykład dla $x=1/2$, parabola leży nad wykresem wykładniczym; poza tym przedziałem wykres $2^x$ leży wyżej.

Mamy $f(x)=2^{-x/2}$.

a) $f(x)>1$ dla $x<0$.

b) $2^{-x/2}<2^{-3}$ daje $x>6$.

c) $2^2<2^{-x/2}<2^3$, więc $-6<x<-4$. Wybieramy po trzy liczby z otrzymanych przedziałów.