MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 243

Punkty wspólne sprawdzamy przez podstawienie do obu wzorów. Kształt wykresów pokazuje, że w każdym podpunkcie nie ma dalszych przecięć.

a) Równość zachodzi dla $x=-4$ i $x=0$, co daje $(-4,4)$ i $(0,1)$.

b) Dla $x=-2,-1$ obie funkcje przyjmują odpowiednio wartości $4,2$.

c) Dla $x=0,4$ otrzymujemy wartości $1,9$.

d) Dla $x=2,4$ obie funkcje przyjmują odpowiednio $2,4$.

Dla punktu $(x,y)$ wyznaczamy dodatnią podstawę z równania $a^x=y$ i porównujemy wyniki dla obu punktów.

a) Z $A$ dostajemy $a=1/2$, a z $B$ — $a=1/\sqrt2$; funkcje są różne.

b) Oba punkty dają $a=(3/2)^3=27/8>1$, więc funkcja jest rosnąca.

c) Oba dają $a=2^{-3/2}<1$, więc funkcja jest malejąca.

d) Pierwszy punkt daje $a^6=1/49$, a drugi $a^6=1/14$; to różne podstawy.

Podstawiamy argumenty do wzorów.

a) $f(-4)/f(-2)=(1/4)/(1/2)=1/2$ oraz $g(-1)/g(-2)=2/4=1/2$.

b) $f(3)+f(-1)=2\sqrt2+\frac{\sqrt2}{2}=\frac{5\sqrt2}{2}$. Tak samo $g(1/2)+g(-3/2)=\frac{\sqrt2}{2}+2\sqrt2$.

Liczymy $g(3)=4\cdot9-12+3=27$. Warunek punktu $A$ daje $a^3=f(3)=27$, więc $a=3$. Zatem

Wierzchołki trójkąta to $A(-1,\frac13)$, $B(0,1)$ i $C(1,3)$. Wyznacznik wektorów $\overrightarrow{AB}=(1,\frac23)$ i $\overrightarrow{AC}=(2,\frac83)$ ma wartość $4/3$, więc pole jest równe połowie tej wartości.

Źródłowy wykres jest malejący, więc $0<a<1$. Wtedy $a^2<a<\sqrt a<1$. Dla $x>0$ wykres $h(x)=(a^2)^x$ leży najniżej, $f(x)=a^x$ pośrodku, a $g(x)=(\sqrt a)^x$ najwyżej; dla $x<0$ kolejność jest odwrotna. Wszystkie trzy przechodzą przez $(0,1)$.

W każdym podpunkcie podstawa jest większa od $1$, więc zachowujemy porządek wykładników.

a) $\frac14<\frac7{24}<\frac13$. b) $\frac13<\frac5{12}<\frac12$. c) $\frac13<\frac5{12}<\frac12$. d) $1{,}0001<1{,}01<1{,}1<1{,}11<1{,}1101$. e) $\frac32<1{,}6<\sqrt3<1\frac45<1\frac{21}{25}$. f) $\sqrt{0{,}4}<\sqrt{0{,}(4)}<\frac{\sqrt2}{2} <\sqrt{\frac35}<\sqrt{0{,}7}$.