MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 242

Wszystkie trzy podstawy należą do $(0,1)$, więc wykresy są malejące i mają asymptotę $y=0$. Dla $x=0$ każda potęga ma wartość $1$; różne funkcje nie mają innego punktu wspólnego.

Dla funkcji $a^x$ odczytany punkt $(p,q)$ daje równanie $a^p=q$. Ze źródłowego wykresu odczytujemy kolejno punkty $(-2,3)$, $(-1,3)$, $(1,4)$ i $(2,2)$. Stąd podstawy wynoszą $1/\sqrt3$, $1/3$, $4$ oraz $\sqrt2$.

Podstawiamy kolejno wskazane argumenty i upraszczamy potęgi.

a) $5^{-2}=\frac1{25}$, $5^{1/2}=\sqrt5$, $5^3=125$.

b) $(\frac12)^{-4}=16$, $(\frac12)^1=\frac12$, $(\frac12)^{3/2}=\frac{\sqrt2}{4}$.

c) $(\sqrt2)^{-2}=\frac12$, $(\sqrt2)^0=1$, $(\sqrt2)^4=4$.

d) $(\frac94)^{-1}=\frac49$, $(\frac94)^{-3/2}=\frac8{27}$, $(\frac94)^{5/2}=\frac{243}{32}$.

Porównujemy podane wartości z potęgami podstawy funkcji.

a) $\frac15=(\frac15)^1$, $1=(\frac15)^0$ i $25=(\frac15)^{-2}$.

b) $\frac13=3^{-1}$, $1=3^0$ i $9=3^2$.

Punkt $(u,v)$ należy do wykresu wtedy i tylko wtedy, gdy $v=f(u)$.

a) $a=9^{-3/2}=3^{-3}=\frac1{27}$.

b) $a=(2\sqrt2)^{4/3}=(2^{3/2})^{4/3}=4$.

c) $2^{2a}=2^{4/3}$, więc $a=\frac23$.

d) $3^{-a/2}=3^{2/3}$, zatem $a=-\frac43$.

a) Dla ujemnych argumentów mniejsza podstawa daje większą wartość. Zielony wykres ma więc podstawę $2/3$, czerwony $3/4$, a niebieski $4/5$.

b) Korzystamy z $f(x)=(2/3)^x$: $a=(2/3)^{-2}=9/4$; $(2/3)^b=3/2$ daje $b=-1$; natomiast $\sqrt6/3=\sqrt{2/3}$, więc $c=1/2$.

c) Dla $h(x)=(4/5)^x$ każda z trzech par współrzędnych spełnia wzór: $(4/5)^2=16/25$, $(4/5)^{-1/2}=\sqrt5/2$ i $(4/5)^{-1}=5/4$.