MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 241

Obliczamy wartości potęg kalkulatorem, a następnie zaokrąglamy do trzech miejsc po przecinku. Kolejne wartości przed zaokrągleniem to około $1{,}632526919$, $2{,}589399902$, $0{,}697759175$ i $0{,}694842089$.

Przyjmujemy $x=2^t$ i porównujemy wykładniki.

a) $t\sqrt3=3$, więc $t=\sqrt3$.

b) $t\sqrt2=4$, więc $t=2\sqrt2$.

c) $-\frac{3\sqrt2}{2}t=\frac32$, stąd $t=-\frac{\sqrt2}{2}$.

d) $\frac7{\sqrt7-1}t=\frac73$, zatem $t=\frac{\sqrt7-1}{3}$.

e) $t(\sqrt2-1)=1$, więc $t=\sqrt2+1$.

f) $t(1-\frac{\sqrt3}{2})=\frac92$. Po usunięciu niewymierności $t=18+9\sqrt3$.

Sprowadzamy długości do potęg podstawy $2$:

a) Iloczyn liczb sprzężonych wynosi $(6+2\sqrt2)(6-2\sqrt2)=28$. Po wykonaniu obu potęg otrzymujemy $28^{1/2}=2\sqrt7$, czyli liczbę niewymierną.

b) Dla $u=2^{\sqrt2}$ wyrażenie w dużym nawiasie jest równe $[(1+u)-(1-u)]^2=(2u)^2=2^{2+2\sqrt2}$. Po podniesieniu do potęgi $\sqrt2-1$ dostajemy $2^2=4$.

Korzystamy wyłącznie z podanych przybliżeń.

a) $x=10^{\sqrt2}/10\approx2{,}595$, a $y=2^{\sqrt{10}}/2\approx4{,}476$.

b) $x=\sqrt{10^{\sqrt2}}\approx\sqrt{25{,}955}>5$, natomiast $y=\sqrt[3]{2^{\sqrt{10}}}\approx\sqrt[3]{8{,}952}<3$.

c) $x=10^{\sqrt2}\approx25{,}955$, zaś $y=5^{(\sqrt{13}-\sqrt{11})(\sqrt{13}+\sqrt{11})}=5^2=25$.

Ponieważ $\sqrt{12}\sqrt{27}=18$, równanie ma postać $(3x-1)^{18}=2^{18}$. Dodatnia z podanych liczb może je spełniać tylko wtedy, gdy jest równa $1$.

a) Po zebraniu potęg $2$, $5$ i $10$ otrzymujemy $1$.

b) Iloczyn upraszcza się do $2^3\cdot3^2=72$.

c) Wykładniki przy podstawach $2$ i $3$ redukują się do zera, więc wartość wynosi $1$.

d) Po zapisaniu $1\frac12=\frac32$ i $4\frac{17}{27}=\frac{125}{27}$ wszystkie potęgi $2$, $3$, $5$ skracają się; wartość wynosi $1$.

Korzystamy z prawa $(x^p)^q=x^{pq}$ i z założenia $x>0$.

a) $x^{(\sqrt5-1)(\sqrt5+1)}=x^4=\frac1{16}$, więc $x=\frac12$.

b) Lewa strona jest równa $12x^3$, a prawa $\frac49$. Stąd $x^3=\frac1{27}$ i $x=\frac13$.

c) $\sqrt8x-\sqrt2x=\sqrt2x$, a iloczyn zewnętrznych wykładników wynosi $4$. Zatem $4x^4=\frac{81}{4}$ i $x=\frac32$.

d) $(\sqrt3+\sqrt2)(\sqrt3-\sqrt2)=1$, więc lewa strona to $3x^3$. Równanie $3x^3=192$ daje $x=4$.