MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 240

Korzystamy ze wzoru $G=\sqrt[3]{abc}$ i sprowadzamy czynniki do wspólnej podstawy.

a) Iloczyn ma postać $2^{\sqrt{10}-2}2^{2\sqrt{10}+4}2^{-2}=2^{3\sqrt{10}}$, więc $G=2^{\sqrt{10}}$.

b) Pierwszy czynnik skraca się z odpowiednią potęgą w mianowniku trzeciego. Zostaje $6\sqrt6\,(\sqrt2)^{\sqrt3}$, zatem $G=\sqrt6\,2^{\frac{\sqrt3}{6}}$.

c) Suma wykładników przy podstawie $2$ wynosi $3+\frac{3\sqrt2}{2}-\sqrt2-\frac{\sqrt2}{2}=3$. Stąd $G=\sqrt[3]{2^3}=2$.

W każdym podpunkcie zapisujemy liczby jako potęgi tej samej podstawy.

a) $a=c=2^{6\sqrt2}$, natomiast $b=2^{9\sqrt2}$.

b) $a=3^{6\sqrt3}$, zaś $b=c=3^{\sqrt3}$.

c) W liczbie $a$ wykładniki wewnątrz nawiasu sumują się do zera, więc $a=1$. Ponadto $b=c=2^{3-2\sqrt5}$.

Przyrównujemy każdy wzór do zera i dzielimy potęgi o tej samej podstawie.

a) $x=-2^{\sqrt3+5-(2-2\sqrt3)}=-2^{3\sqrt3+3}$.

b) Współczynnik przy $x$ to $6^{1/\sqrt2-1}$, a wyraz wolny ma wartość $6^{1/\sqrt2}$, więc $x=6$.

c) $x=2^{\sqrt2}/2^{-\sqrt3+\sqrt2}=2^{\sqrt3}$.

d) $x^2=6^{2\sqrt2}$, zatem $x=\pm6^{\sqrt2}$.

e) $x^2=2^{2\sqrt3}$, więc $x=\pm2^{\sqrt3}$.

f) Wyłączamy $x(\sqrt3)^{1-\sqrt3}$. Drugi czynnik jest równy $x^2-3^{\sqrt3}$, dlatego $x=0$ lub $x=\pm3^{\frac{\sqrt3}{2}}$.

Proste są równoległe dokładnie wtedy, gdy mają równe współczynniki kierunkowe.

a) Ze skanu odczytujemy przy $x$ w funkcji $g$ współczynnik $2^{\frac32\sqrt2}=2^{\frac{3\sqrt2}{2}}$. Z kolei

Wykładniki są różne, więc proste nie są równoległe.

b) $\sqrt{1000}-\sqrt{10}=9\sqrt{10}$, a $1000^{\sqrt{90}}=(10^3)^{3\sqrt{10}}=10^{9\sqrt{10}}$. Współczynniki kierunkowe są równe, zatem proste są równoległe.

c) Pierwszy współczynnik to $2^{-2\sqrt2}$, a drugi $2^{6\sqrt2-4\sqrt2}=2^{2\sqrt2}$. Nie są równe, więc proste nie są równoległe.

Objętość prostopadłościanu jest iloczynem wymiarów, a objętość sześcianu wynosi $a^3$.

a) Po zapisaniu wszystkich czynników przy podstawie $2$ suma wykładników jest równa $\frac{\sqrt{0{,}1}}8+\frac{\sqrt{0{,}9}}8+\frac{\sqrt{0{,}4}}4 =\sqrt{0{,}1}$.

b) $V=(2^{\sqrt{10}/3})^3=2^{\sqrt{10}}$.

c) Z $a^3=8^{\sqrt6}=2^{3\sqrt6}$ otrzymujemy $a=2^{\sqrt6}$.

Ponieważ $3+2\sqrt2=(1+\sqrt2)^2$, mamy $x=4^{1+\sqrt2}=2^{2+2\sqrt2}$. Stąd $\sqrt{x}=2^{1+\sqrt2}=2\cdot2^{\sqrt2}=2y$, więc $2y-\sqrt{x}=0$.