MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 239

Mnożymy długości boków albo korzystamy z definicji pola.

a)

$$2^{\sqrt5}6^{\sqrt{10}}\left(\frac13\right)^{\sqrt{10}} \left(\frac12\right)^{\sqrt5}=2^{\sqrt{10}}.$$

b) Długość jest równa $9/3^{\sqrt2-1}=3^{3-\sqrt2}$.

c) Po podniesieniu boku do kwadratu otrzymujemy

$$\left(\frac13\right)^{2\sqrt{1/12}} =\left(\frac13\right)^{\sqrt3/3}.$$

d) Bok jest pierwiastkiem z pola:

$$\sqrt{2^{\sqrt8}}=2^{\sqrt8/2}=2^{\sqrt2}.$$

Wartości obliczamy jako $\exp(p\ln a)$, a następnie zaokrąglamy do pięciu miejsc po przecinku:

$$8^{\sqrt3}\approx36{,}66045,\qquad 0{,}2^{\sqrt2/2}\approx0{,}32045,$$ $$10^{0{,}1\sqrt{10}}\approx2{,}07123,\qquad \left(\frac13\right)^{1/\sqrt3}\approx0{,}53032.$$

Łączymy potęgi o wspólnej podstawie, a w razie potrzeby rozkładamy podstawy na czynniki:

$$\text{a) }9^{\frac23\sqrt3+\frac1{\sqrt3}}=9^{\sqrt3}, \qquad \text{b) }10^{2\sqrt8-8\sqrt2}=10^{-4\sqrt2},$$ $$\text{c) }2^{\frac52\sqrt2}, \qquad \text{d) }(12\cdot0{,}5)^{\sqrt2/2}=6^{\sqrt2/2},$$ $$\text{e) }20^{\sqrt5}(2\sqrt5)^{2\sqrt5} =400^{\sqrt5}, \qquad \text{f) }6^{\sqrt3-1},$$ $$\text{g) }1^{\sqrt6}=1,\qquad \text{h) }2^{\sqrt2-6\sqrt2}=2^{-5\sqrt2},$$ $$\text{i) }5^{(3+\sqrt5)/4}, \qquad \text{j) }2^{5\sqrt2-1},$$ $$\text{k) }5^{3-\sqrt{10}}.$$

W części l) licznik jest równy $6^{(\sqrt6-\sqrt2)/2}$. Mianownik jest równy $3^{(\sqrt6-\sqrt2)/2}$, dlatego iloraz wynosi $2^{(\sqrt6-\sqrt2)/2}$.

a) Łączny wykładnik przy podstawie $a$ wynosi

$$\sqrt{12}+\sqrt{48}-\sqrt{27} =2\sqrt3+4\sqrt3-3\sqrt3=3\sqrt3.$$

Ponieważ $a=\sqrt[3]{\sqrt3}=3^{1/6}$, wartość jest równa $3^{\sqrt3/2}$.

b) Najpierw

$$a=\sqrt{(\sqrt6)^{6\sqrt6}} =(\sqrt6)^{3\sqrt6}=6^{3\sqrt6/2}.$$

Stąd $a^{1/6}=6^{\sqrt6/4}$ i $a^{1/3}=6^{\sqrt6/2}$. Po rozwinięciu kwadratu sumy:

$$6^{\sqrt6/2} +2\cdot6^{3\sqrt6/4} +6^{\sqrt6}.$$

a) Prawą stronę zapisujemy przy podstawie $2$:

$$\frac{4^{\sqrt3+2}}{(\sqrt{32})^{\sqrt3}} =2^{4-\sqrt3/2}.$$

Lewa strona jest równa $(3x+1)2^{-\sqrt3/2}$. Po skróceniu wspólnego czynnika otrzymujemy $3x+1=16$, czyli $x=5$.

b) Równanie można zapisać jako

$$\frac{6\cdot4^{2\sqrt3}}{x} =\frac{6x}{3^{2\sqrt3}}.$$

Po skróceniu przez $6$ i pomnożeniu przez mianowniki:

$$x^2=4^{2\sqrt3}3^{2\sqrt3}=12^{2\sqrt3}.$$

Oba pierwiastki są dopuszczalne, bo nie są zerem.

a) Wewnątrz nawiasu łączny wykładnik przy $x$ jest równy

$$\sqrt{27}-\frac{\sqrt3}{2}-\sqrt{0{,}75} =3\sqrt3-\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt3}{2} =2\sqrt3.$$

Po podniesieniu do $\sqrt3$ otrzymujemy $x^6$. Dla $x=\sqrt[12]{2}$ wartość wynosi $\sqrt2$.

b) Ponieważ

$$\left(\frac1x\right)^{\sqrt2-2}=x^{2-\sqrt2},$$

wnętrze nawiasu jest równe $x^{2+\sqrt2}$. Iloczyn wykładników $(2+\sqrt2)(2-\sqrt2)=2$, więc uproszczone wyrażenie to $x^2$. Dla $x=\sqrt[4]{4}=\sqrt2$ jego wartość wynosi $2$.