MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 24

Jeśli równanie $ax^2+bx+c=0$ ma pierwiastki $x_1,x_2$, to

$$x_1+x_2=-\frac ba,\qquad x_1x_2=\frac ca.$$

Stosujemy te wzory kolejno:

a) $x_1+x_2=\frac7{77}=\frac1{11}$, $x_1x_2=-\frac{11}{77}=-\frac17$.

b) $x_1+x_2=\frac{-180}{-165}=\frac{12}{11}$, $x_1x_2=\frac{143}{-165}=-\frac{13}{15}$.

c) $x_1+x_2=-\frac3{0{,}2}=-15$, $x_1x_2=\frac1{0{,}2}=5$.

d) $x_1+x_2=-\frac5{-1}=5$, $x_1x_2=\frac{-5/4}{-1}=\frac54$.

e) $x_1+x_2=-\frac{1/6}{1/3}=-\frac12$, $x_1x_2=\frac{-2}{1/3}=-6$.

f) $x_1+x_2=\frac{4\sqrt5}{2}=2\sqrt5$, $x_1x_2=\frac42=2$.

g) $x_1+x_2=-2\sqrt3$, $x_1x_2=\sqrt2$.

h) Racjonalizujemy mianowniki:

$$x_1+x_2=-\frac1{2-\sqrt3}=-2-\sqrt3,$$ $$x_1x_2=\frac{-2-\sqrt3}{2-\sqrt3}=-7-4\sqrt3.$$

Dla dwóch rzeczywistych pierwiastków korzystamy z zależności

$$s=x_1+x_2=-\frac ba,\qquad p=x_1x_2=\frac ca.$$

Gdy $p<0$, pierwiastki mają różne znaki. Gdy $p>0$, mają ten sam znak, który rozstrzyga znak sumy $s$. W każdym podpunkcie wyróżnik jest dodatni.

a) $s=7>0$, $p=8>0$, więc oba pierwiastki są dodatnie.

b) $s=-\frac23<0$, $p=\frac{0{,}004}{3}>0$, więc oba są ujemne.

c) $p=-\frac67<0$, więc pierwiastki mają różne znaki.

d) $s=5>0$, $p=2>0$, więc oba są dodatnie.

e) $s=\frac{6^6}{2^5}>0$ i $p=\frac{3^5}{2^5}>0$, więc oba są dodatnie.

f) $p=-\frac1{4^{10}}<0$, więc pierwiastki mają różne znaki.

g) $p=\frac{1-\sqrt2}{1+\sqrt2}<0$, więc pierwiastki mają różne znaki.

h) $s=-\frac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt3-\sqrt2}<0$ oraz $p=\frac{\sqrt2}{\sqrt3-\sqrt2}>0$, więc oba są ujemne.

Ze wzorów Viète'a $s=-\frac ba$ i $p=\frac ca$. Zatem

$$\overline{x}_a=\frac{s}{2},\qquad \overline{x}_g=\sqrt p.$$

a) $s=6$, $p=4$, więc $\overline{x}_a=3$ i $\overline{x}_g=2$.

b) $s=20$, $p=1$, więc $\overline{x}_a=10$ i $\overline{x}_g=1$.

c) $s=-300$, $p=100$, więc $\overline{x}_a=-150$ i $\overline{x}_g=10$.

d) $s=2\sqrt3$, $p=1$, więc $\overline{x}_a=\sqrt3$ i $\overline{x}_g=1$.

Ze wzorów Viète'a dla równania $-6x^2+3x+2=0$ mamy

$$s=x_1+x_2=\frac12,\qquad p=x_1x_2=-\frac13.$$

a)

$$x_1^2+x_2^2=s^2-2p=\frac14+\frac23=\frac{11}{12}.$$

b)

$$(x_1-x_2)^2=s^2-4p=\frac14+\frac43=\frac{19}{12}.$$

c)

$$\frac1{x_1}+\frac1{x_2}=\frac{s}{p}=-\frac32.$$

d)

$$\frac1{x_1^2}+\frac1{x_2^2} =\frac{x_1^2+x_2^2}{p^2} =\frac{11/12}{1/9}=\frac{33}{4}.$$

Korzystamy z $s=x_1+x_2$ oraz $p=x_1x_2$.

a) Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika:

$$\frac1{x_1^2x_2}+\frac1{x_1x_2^2} =\frac{x_1+x_2}{x_1^2x_2^2}=\frac{s}{p^2}.$$

b) Z tożsamości na sumę sześcianów:

$$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)=s^3-3ps.$$

c)

$$\frac1{x_1^3}+\frac1{x_2^3} =\frac{x_1^3+x_2^3}{(x_1x_2)^3} =\frac{s^3-3ps}{p^3}.$$

Ze wzorów Viète'a otrzymujemy

$$s=x_1+x_2=12,\qquad p=x_1x_2=-14.$$

Stosujemy zależności wyprowadzone w poprzednim zadaniu.

a)

$$\frac{s}{p^2}=\frac{12}{196}=\frac3{49}.$$

b)

$$s^3-3ps=12^3-3\cdot(-14)\cdot12=2232.$$

c)

$$\frac{s^3-3ps}{p^3}=\frac{2232}{(-14)^3}=-\frac{279}{343}.$$

Ze wzorów Viète'a

$$s=x_1+x_2=-\frac45,\qquad p=x_1x_2=-\frac35.$$

Ponieważ

$$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=s^2-4p,$$

to

$$|x_1-x_2|=\sqrt{\frac{16}{25}+\frac{12}{5}} =\sqrt{\frac{76}{25}}=\frac{2\sqrt{19}}5.$$