MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 25

Oznaczmy $s=x_1+x_2$ oraz $p=x_1x_2$. Ze wzorów Viète'a $s=-\frac ba$ i $p=\frac ca$.

a) $s=7$.

b) $p=\frac{-4}{-1}=4$.

c) $\frac1s=\frac1{11/2}=\frac2{11}$.

d) Suma odwrotności to $\frac{s}{p}$. Tutaj $s=-\frac13$, $p=-\frac43$, więc $\frac{s}{p}=\frac14$.

e) $s=-\frac73$, $p=-\frac13$, zatem

$$x_1^2+x_2^2=s^2-2p=\frac{49}{9}+\frac23=\frac{55}{9}.$$

f) Szukana wartość jest równa $s^2$; ponieważ $s=-\frac75$, otrzymujemy $\frac{49}{25}$.

g)

$$|x_1-x_2|=\sqrt{s^2-4p}=\sqrt{36-12}=2\sqrt6.$$

h) Dla $s=2\sqrt2$, $p=1$ mamy

$$\frac1{x_1^2}+\frac1{x_2^2} =\frac{s^2-2p}{p^2}=\frac{8-2}{1}=6.$$

i) Dla $s=2$, $p=-4$:

$$x_1^3+x_2^3=s^3-3ps=8+24=32.$$

j) Niech $q_2=x_1^2+x_2^2=s^2-2p=27$. Wtedy

$$x_1^4+x_2^4=q_2^2-2p^2=27^2-2=727.$$

k) Dla $s=\frac12$, $p=-1$:

$$(x_1-x_2)^2=s^2-4p=\frac14+4=\frac{17}{4}.$$

Ze wzorów Viète'a

$$s=x_1+x_2=5,\qquad p=x_1x_2=3.$$

a)

$$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1} =\frac{x_1^2+x_2^2}{p} =\frac{s^2-2p}{p}=\frac{19}{3}.$$

b) Po skróceniu składników $-1+1$ otrzymujemy takie samo wyrażenie jak w a), więc wynik to $\frac{19}{3}$.

c)

$$(x_1-x_2)^2-(x_1+x_2)^2=-4x_1x_2=-4p=-12.$$

d)

$$\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_1} =\frac{x_1^3+x_2^3}{p} =\frac{s^3-3ps}{p}=\frac{125-45}{3}=\frac{80}{3}.$$

e)

$$x_1^3x_2+x_2^3x_1=p(x_1^2+x_2^2) =p(s^2-2p)=3\cdot19=57.$$

f) Mianownik jest równy $(x_1+x_2)^3=s^3$, stąd

$$\frac{x_1x_2}{(x_1+x_2)^3}=\frac{p}{s^3}=\frac3{125}.$$

Ze wzorów Viète'a $s=x_1+x_2=-10$ i $p=x_1x_2=-17$.

a) Mamy $x_1^2+x_2^2=s^2-2p=134$ oraz $x_1^2x_2+x_1x_2^2=ps=170$. Zatem

$$\frac{134}{2}-0{,}1\cdot170=67-17=50.$$

b) Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika:

$$\frac{(x_2-3)(x_2+2)+(x_1-3)(x_1+2)} {(x_1+2)(x_2+2)}.$$

Licznik ma wartość

$$(s^2-2p)-s-12=134+10-12=132,$$

a mianownik

$$p+2s+4=-17-20+4=-33.$$

Iloraz jest więc równy $-4$.

Ze wzorów Viète'a

$$s=x_1+x_2=-\frac73,\qquad p=x_1x_2=\frac c3.$$

a) Warunek $p=1$ daje $\frac c3=1$, czyli $c=3$.

b)

$$\frac1{x_1}+\frac1{x_2}=\frac{s}{p} =\frac{-7/3}{c/3}=-\frac7c.$$

Z warunku $-\frac7c=1$ otrzymujemy $c=-7$.

c)

$$x_1^2+x_2^2=s^2-2p=\frac{49}{9}-\frac{2c}{3}.$$

Równanie $\frac{49}{9}-\frac{2c}{3}=\frac{25}{9}$ daje $c=4$.

Niech pierwiastkami będą $x_1,x_2$. Z warunku o średniej arytmetycznej:

$$\frac{x_1+x_2}{2}=10,$$

więc $x_1+x_2=20$. Ponieważ średnia geometryczna wynosi 10,

$$\sqrt{x_1x_2}=10,$$

czyli $x_1x_2=100$. Dla równania $x^2+bx+c=0$ wzory Viète'a dają $x_1+x_2=-b$ oraz $x_1x_2=c$. Stąd $b=-20$ i $c=100$.

Ponieważ wykres przechodzi przez $(-1,3)$,

$$f(-1)=-2-b+c=3,$$

zatem

$$c-b=5. \tag{1}$$

Ze wzorów Viète'a

$$s=x_1+x_2=\frac b2,\qquad p=x_1x_2=-\frac c2.$$

a) Z $\frac b2=-1$ mamy $b=-2$, a z (1) $c=3$.

b) Warunek daje

$$\frac1{x_1}+\frac1{x_2}=\frac{s}{p}=-\frac bc=1,$$

czyli $c=-b$. Razem z (1): $-2b=5$, zatem $b=-\frac52$, $c=\frac52$.

c)

$$(x_1-x_2)^2=s^2-4p=\frac{b^2}{4}+2c=15.$$

Po podstawieniu $c=b+5$:

$$b^2+8b-20=0,$$

więc $b=-10$ lub $b=2$. Z (1) dostajemy odpowiednio $c=-5$ lub $c=7$.

Ze wzorów Viète'a iloczyn pierwiastków wynosi

$$x_1x_2=\frac{12}{4}=3.$$

Dwa pierwiastki naturalne o iloczynie 3 to $1$ i $3$, więc ich suma wynosi 4. Ponieważ

$$x_1+x_2=-\frac b4,$$

otrzymujemy $-\frac b4=4$, czyli $b=-16$.