MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 23

a) Po pomnożeniu pierwszego równania przez $12$, a drugiego przez $8$, otrzymujemy $y=x^2+4x-1,\qquad y=2x^2-x+3.$ Zatem $x^2-5x+4=(x-1)(x-4)=0$. Daje to punkty $(1,4)$ i $(4,31)$.

b) Pierwsze równanie jest równoważne $y=-x^2+5x+1,$ a drugie $y=2x^2+3x-4.$ Po zrównaniu: $3x^2-2x-5=0$, więc $x=-1$ lub $x=\frac53$. Odpowiednie wartości to $y=-5$ oraz $y=\frac{59}{9}$.

Warunek na drugą współrzędną ma postać $y=2x^2$. Punkt ma też leżeć na danej paraboli, więc $3x^2-5x+4=2x^2.$ Stąd $x^2-5x+4=(x-1)(x-4)=0.$ Dla $x=1$ mamy $y=2$, a dla $x=4$ mamy $y=32$.

Postacie kanoniczne parabol to $y=(x+2)^2+1,\qquad y=-(x+3)^2+6,$ więc ich wierzchołki to $A=(-2,1)$ i $C=(-3,6)$.

Punkty przecięcia wyznaczamy z równania $x^2+4x+5=-x^2-6x-3,$ czyli $(x+1)(x+4)=0$. Otrzymujemy $B=(-1,2)$ i $D=(-4,5)$.

W kolejności $A,B,C,D$ jest to równoległobok, ponieważ $\overrightarrow{AB}=(1,1)$ i $\overrightarrow{AD}=(-2,4)$, a czwarty punkt spełnia $C=B+D-A$. Jego pole wynosi

Wierzchołki parabol to $A=(0,0)$ i $C=(0,8)$. Punkty przecięcia spełniają $\frac14x^2=8-\frac14x^2,$ więc $x^2=16$. Są to $B=(4,4)$ i $D=(-4,4)$.

Przekątne $AC$ i $BD$ mają tę samą długość $8$, przecinają się w swoich środkach $(0,4)$ i są prostopadłe. Czworokąt, którego przekątne są równe, prostopadłe i dzielą się na połowy, jest kwadratem.

a) Porównanie pierwszej paraboli z prostą daje $x^2+6x+10=-2x-2,$ czyli $(x+2)(x+6)=0$. Drugą parabolę z tą samą prostą łączy dokładnie to samo równanie. Dla $x=-2$ mamy $y=2$, a dla $x=-6$ mamy $y=10$. Wszystkie trzy wykresy przechodzą przez oba te punkty.

b) Pierwsza parabola przecina prostą dla $x=2$ lub $x=7$, natomiast druga dla $x=-1$ lub $x=4$. Zbiory odciętych są rozłączne, więc nie ma punktu wspólnego wszystkich trzech wykresów.

Dla pierwszej paraboli podstawiamy punkty $A$ i $B$: $-2a+b=-7,\qquad 2a+b=9.$ Stąd $a=4$, $b=1$ i $y=x^2+4x+1$.

Dla drugiej paraboli: $9c+d=-10,\qquad c+d=6,$ więc $c=-2$, $d=8$ i $y=-2x^2+8$.

Punkty wspólne spełniają $3x^2+4x-7=(3x+7)(x-1)=0.$ Otrzymujemy $(1,6)$ oraz $\left(-\frac73,-\frac{26}{9}\right)$.

Z warunków $f(-1)=1$ i $f(2)=7$ otrzymujemy $b=a,\qquad 4+2a+b=7,$ stąd $a=b=1$ i $f(x)=x^2+x+1$.

Z warunków dla $g$: $-1-c+d=1,\qquad -4+2c+d=7,$ więc $c=3$, $d=5$. Zatem $h(x)=-g(x)=x^2-3x-5.$ Równanie $f(x)=h(x)$ daje $4x=-6$, czyli $x=-\frac32$ i $y=f\left(-\frac32\right)=\frac74$.

Niech $t=|x|\ge0$. Równanie punktów wspólnych ma postać $\frac14t^2=t^2-4t+4.$ Po pomnożeniu przez $4$: $3t^2-16t+16=0.$ Stąd $t=4$ lub $t=\frac43$, czyli $x=\pm4\quad\text{lub}\quad x=\pm\frac43.$ Dla $|x|=4$ mamy $y=4$, a dla $|x|=\frac43$ mamy $y=\frac49$.