MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 238

Wartości obliczone kalkulatorem, przed zaokrągleniem, są następujące:

$$\begin{aligned} 11^{\sqrt{11}}&\approx2843{,}8638198,\\ 12^{\sqrt{12}}&\approx5475{,}1181754,\\ 13^{\sqrt{13}}&\approx10384{,}3633254,\\ 14^{\sqrt{14}}&\approx19427{,}5676931,\\ 15^{\sqrt{15}}&\approx35890{,}6943139. \end{aligned}$$

Zaokrąglamy każdą liczbę do części setnych.

Korzystamy z własności $(u^p)^q=u^{pq}$ dla $u>0$.

a)

$$\left((\sqrt3)^{\sqrt3}\right)^{\sqrt3} =(\sqrt3)^3=3\sqrt3.$$

b)

$$\left((\sqrt{0{,}5})^{\sqrt8}\right)^{\sqrt{0{,}5}} =(\sqrt{0{,}5})^{\sqrt8\sqrt{0{,}5}} =(\sqrt{0{,}5})^2=0{,}5.$$

c)

$$7^{(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)}=7.$$

d)

$$11^{(\sqrt7-\sqrt5)(\sqrt7+\sqrt5)}=11^2=121.$$

e)

$$(\sqrt5)^{(\sqrt5+1)(\sqrt5-1)/2} =(\sqrt5)^2=5.$$

f)

$$(\sqrt3-1)^{(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)} =(\sqrt3-1)^2=4-2\sqrt3.$$

Sprowadzamy czynniki w każdym podpunkcie do wspólnej podstawy.

a)

$$\frac{2^{3(2-\sqrt5)}}{2^{-3\sqrt5}}=2^6=64.$$

b) Ponieważ $\sqrt{112}=4\sqrt7$,

$$\frac{3^{8\sqrt7}}{3^{2\sqrt{112}}}=1.$$

c)

$$\left(5^{\sqrt3-\sqrt2}5^{-\sqrt3}\right)^{\sqrt2} =5^{-2}=\frac1{25}.$$

d)

$$\left(\left(\frac54\right)^{3-2\sqrt3}\right)^{3+2\sqrt3} =\left(\frac54\right)^{-3}=\frac{64}{125}.$$

e)

$$2^{\sqrt3}\cdot2^{\sqrt2}\cdot2^{-\sqrt3-\sqrt2}=1.$$

f) Mamy $\sqrt{27}=(\sqrt3)^3$, zatem

$$\left((\sqrt3)^{2\sqrt3+3}\right)^{\sqrt3-\frac32} =(\sqrt3)^{3/2}=\sqrt[4]{27}.$$

g)

$$\left(\frac{0{,}1\cdot1000}{10\cdot0{,}01}\right)^{\sqrt{10}} =1000^{\sqrt{10}}.$$

h) Pierwszy iloraz w nawiasie jest równy $2^{-\sqrt2/4}$, a drugi $2^{-13\sqrt2/4}$. Stąd

$$\left(2^{-\sqrt2/4+13\sqrt2/4}\right)^{\sqrt2} =\left(2^{3\sqrt2}\right)^{\sqrt2}=64.$$

Ponieważ $4=2^2$ i $\sqrt{12}=2\sqrt3$, mamy

$$\begin{aligned} x &=2^{2\sqrt3-1}+2^{2\sqrt3+1}-2^{2\sqrt3-1}\\ &=2^{2\sqrt3+1}. \end{aligned}$$

Z drugiej strony

$$y=2^{\sqrt3}\cdot2^{\sqrt3+1}=2^{2\sqrt3+1}.$$

Obie liczby mają więc tę samą postać.

a)

$$m=\frac{3^{\sqrt3-1}}{6^{\sqrt3-1}} =\left(\frac12\right)^{\sqrt3-1}=2^{1-\sqrt3}.$$

b)

$$\begin{aligned} m &=(\sqrt5)^{\sqrt{20}}(\sqrt{20})^{\sqrt5}\\ &=5^{\sqrt5}(2\sqrt5)^{\sqrt5} =(10\sqrt5)^{\sqrt5}. \end{aligned}$$

c)

$$m=(\sqrt{18})^{\sqrt{18}-\sqrt2} =(3\sqrt2)^{2\sqrt2}=18^{\sqrt2}.$$

Korzystamy z tożsamości

$$(x+y)^2-(x-y)^2=4xy.$$

Wyrażenie w nawiasie jest więc równe $xy$. Ponadto

$$x=(\sqrt2)^{\sqrt2},\qquad y=(\sqrt8)^{\sqrt2}=\left((\sqrt2)^3\right)^{\sqrt2} =(\sqrt2)^{3\sqrt2}.$$

Zatem

$$(xy)^{\sqrt2} =\left((\sqrt2)^{4\sqrt2}\right)^{\sqrt2} =(\sqrt2)^8=16.$$

Sprawdzamy, czy w każdym podpunkcie $ab=1$.

a) Ponieważ $2\sqrt2=2^{3/2}$ i $0{,}125=2^{-3}$,

$$ab=2^{6\sqrt3}\cdot2^{-6\sqrt3}=1.$$

b)

$$ab=6^{2+2\sqrt2}\cdot6^{1-2\sqrt2}=6^3\ne1.$$

c) Mamy $0{,}0016=5^{-4}$ i $\sqrt{180}=6\sqrt5$, więc

$$ab=5^{4-6\sqrt5}\cdot5^{-4+6\sqrt5}=1.$$

d) Ponieważ $0{,}36=(\frac35)^2$ i $\sqrt{0{,}75}=\frac{\sqrt3}{2}$,

$$b=\left(\frac35\right)^{2+\sqrt3} =\left(\frac53\right)^{-(2+\sqrt3)}=\frac1a.$$