MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 22

Współrzędne punktów wspólnych otrzymujemy przez zrównanie wzorów.

a) $-3x^2-12x-20=x^2$ daje $x^2+3x+5=0$ i $\Delta=-11$, więc parabolom nie odpowiada żaden punkt wspólny.

b) $x^2-4x+6=-x^2+4x$ daje $(x-1)(x-3)=0$. Punkty wspólne to $(1,3)$ i $(3,3)$.

c) $-2x^2-8x=\frac23x^2$ daje $x(x+3)=0$. Punkty wspólne to $(0,0)$ i $(-3,6)$.

d) $\frac12x^2-4x+6=-\frac12x^2+6x-18$ daje $(x-4)(x-6)=0$. Punkty wspólne to $(4,-2)$ i $(6,0)$.

a) Po rozwinięciu kwadratów skracają się składniki $x^2$: $-8x+28=4x+4$, więc $x=2$ i $y=16$.

b) $x^2+6x+11=x^2-10x-5$, więc $x=-1$ i $y=6$.

c) $-x^2-14x-48=x^2-2x-38$, czyli $(x+1)(x+5)=0$. Otrzymujemy $(-1,-35)$ i $(-5,-3)$.

d) Równość prowadzi do $x^2+x+2=0$, dla którego $\Delta=-7$, więc układ jest sprzeczny.

Pierwszą parabolę zapisujemy jako $y=(x+2)^2-1,$ więc jej wierzchołkiem jest $A=(-2,-1)$. Druga ma postać $y=-(x-1)^2+8,$ zatem jej wierzchołkiem jest $B=(1,8)$.

Sprawdzamy każdy wierzchołek w równaniu drugiej paraboli: $-(-2)^2+2(-2)+7=-1,$ a w równaniu pierwszej: $1^2+4\cdot1+3=8.$ Zatem oba różne wierzchołki leżą na obu parabolach, więc są dokładnie ich dwoma punktami przecięcia.

Odcięte punktów przecięcia spełniają $2x^2-x+3=3x^2+2x-7,$ czyli $(x-2)(x+5)=0$. Możemy przyjąć $p=2$, $r=-5$. Wtedy $q=9$ i $s=58$. Zatem

=\frac{2\cdot(-5)\cdot7^2}{|9-58|} =\frac{-490}{49}=-10.$$

Rozwijamy kwadraty i skracamy $y^2$. Pierwsze równanie daje $x^2+2x-6y-1=0,$ a drugie $x^2+4x+6y+5=0.$ Po dodaniu równań: $2x^2+6x+4=2(x+1)(x+2)=0,$ więc $x=-1$ lub $x=-2$.

Z pierwszego równania $6y=x^2+2x-1$. Dla $x=-1$ mamy $y=-\frac13$, a dla $x=-2$ mamy $y=-\frac16$.