MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 21

W każdym podpunkcie porównujemy prawe strony równań.

a) $x^2=-x^2$, więc $2x^2=0$ i $(x,y)=(0,0)$.

b) $x^2=-5x^2$, więc $6x^2=0$ i $(x,y)=(0,0)$.

c) $x^2+1=-x^2+1$, więc $x=0$ i $y=1$.

d) $-x^2=x^2-2$, zatem $x^2=1$ i $y=-1$.

e) $x^2=-x^2+8$, zatem $x^2=4$ i $y=4$.

f) $-x^2=x^2-12$, zatem $x^2=6$ i $y=-6$.

Porównujemy wzory obu funkcji i po wyznaczeniu $x$ obliczamy $y$.

a) $x^2+4=2x^2$, więc $x=\pm2$ i $y=8$.

b) $3x^2-4=-x^2$, więc $x=\pm1$ i $y=-1$.

c) $2x^2-9=x^2$, więc $x=\pm3$ i $y=9$.

d) $5x^2-18=3x^2$, więc $x=\pm3$ i $y=27$.

e) $-8x^2=-6x^2-2$, więc $x=\pm1$ i $y=-8$.

f) $3x^2=-2x^2+10$, więc $x=\pm\sqrt2$ i $y=6$.

Odcięte punktów wspólnych spełniają $2x^2-x+6=x^2+3x+11,$ czyli $x^2-4x-5=(x+1)(x-5)=0.$ Punkty wspólne to $A=(-1,9)$ i $B=(5,51)$. Ich środek ma współrzędne $S=\left(\frac{-1+5}{2},\frac{9+51}{2}\right)=(2,30).$

Dla paraboli odniesienia rozwiązujemy $x^2-7x+10=-x^2+x+2,$ skąd $2(x-2)^2=0$. Parabole mają więc jeden punkt wspólny.

Porównujemy liczbę rozwiązań dla kolejnych parabol:

• I: $3x^2-6x+3=3(x-1)^2=0$ — jedno rozwiązanie;
• II: $2x^2+3x+1=0$, $\Delta=1$ — dwa rozwiązania;
• III: $2x^2+7x+7=0$, $\Delta=-7$ — brak rozwiązań;
• IV: $x^2+10x+25=(x+5)^2=0$ — jedno rozwiązanie.

W pierwszym układzie porównanie prawych stron daje $x^2-7x+1=-3x^2+x+1,$ czyli $4x(x-2)=0$. Otrzymujemy punkty $(0,1)$ i $(2,-9)$.

W drugim układzie $-x^2+2x-9=x^2+5x-23,$ więc $2x^2+3x-14=0$. Pierwiastki to $x=2$ i $x=-\frac72$. Dla $x=2$ otrzymujemy $y=-9$, zatem punkt $(2,-9)$ spełnia oba układy.

a) Z równań mamy $y=x^2-9x$ oraz $y=x^2+4x+13$. Stąd $-9x=4x+13$, więc $x=-1$ i $y=10$.

b) Zapisujemy $y=\frac{x^2+6x-1}{2},\qquad y=-x^2-8x-4.$ Po zrównaniu otrzymujemy $3x^2+22x+7=0,$ zatem $x=-7$ lub $x=-\frac13$. Odpowiednie wartości to $y=3$ oraz $y=-\frac{13}{9}$.

c) Pierwsze równanie daje $y=x^2+3x+1$. Po podstawieniu do drugiego: $6x^2+3(x^2+3x+1)=3x+2,$ czyli $(3x+1)^2=0$. Stąd $x=-\frac13$ i $y=\frac19$.