MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 219

Stosujemy wzór $L=2nR\sin(180^\circ/n)$.

a) $L=12\sqrt3\sin30^\circ=6\sqrt3\approx10{,}4$.

b) $L=480\sin15^\circ\approx124{,}2$.

c) $L=360\sin3^\circ\approx18{,}8$.

d) $L=21600\sin0{,}5^\circ\approx188{,}5$.

Stosujemy wzór $L=2nr\tan(180^\circ/n)$.

a) $L=120\tan30^\circ=40\sqrt3\approx69{,}3$.

b) $L=270\tan20^\circ\approx98{,}3$.

c) $L=1200\tan1{,}8^\circ\approx37{,}7$.

d) $L=18000\tan0{,}1^\circ\approx31{,}4$.

Wielokąt dzielimy na $n$ przystających trójkątów.

a) Każdy ma dwa boki $R$ i kąt $360^\circ/n$, więc $P=n\cdot\frac12R^2\sin(360^\circ/n)$.

b) Dla apotemy $r$ połowa boku jest równa $r\tan(180^\circ/n)$. Pole jednego trójkąta to $r^2\tan(180^\circ/n)$, więc mnożymy przez $n$.

c) Pole jest też równe $\frac12Lr=\frac12nar$; z $r=a/(2\tan(180^\circ/n))$ otrzymujemy $P=\frac{n}{4\tan(180^\circ/n)}a^2$.

Korzystamy ze wzoru $P=nr^2\tan(180^\circ/n)$.

a) $P=384\tan30^\circ=128\sqrt3\approx221{,}7$.

b) $P=450\tan10^\circ\approx79{,}3$.

c) $P=9000\tan2^\circ\approx314{,}3$.

d) $P=5760\tan0{,}5^\circ\approx50{,}3$.

Korzystamy ze wzoru $P=\frac n2R^2\sin(360^\circ/n)$.

a) $P=4\cdot144\sin45^\circ=288\sqrt2\approx407{,}3$.

b) $P=6\cdot3\sin30^\circ=9$.

c) $P=100\sin7{,}2^\circ\approx12{,}5$.

d) $P=6000\sin3^\circ\approx314{,}0$.

Stosujemy wzór $P=\frac{na^2}{4\tan(180^\circ/n)}$.

a) $P=\frac{150}{4\tan30^\circ}=37{,}5\sqrt3\approx65{,}0$.

b) $P=\frac{40}{4\tan18^\circ}=\frac{10}{\tan18^\circ}\approx30{,}8$.

c) $P=\frac{3000}{4\tan6^\circ}=\frac{750}{\tan6^\circ}\approx7135{,}8$.

d) $P=\frac{5760}{4\tan2^\circ}=\frac{1440}{\tan2^\circ}\approx41236{,}2$.

Bok kwadratu ma długość $s=12/\sqrt2=6\sqrt2$, więc jego pole wynosi $72$. Część wspólna jest rombem. Jego pionowa przekątna ma długość $s$, a pozioma $s/2$ (punkty przecięcia ramion leżą w jednej czwartej i w trzech czwartych szerokości kwadratu).

Pole rombu wynosi $\frac12\cdot s\cdot\frac s2=\frac{s^2}{4}=18$.

Łuk między sąsiednimi wierzchołkami ma miarę $360^\circ/20=18^\circ$. Jeżeli wierzchołek kąta leży na łuku większym, kąt ma połowę łuku mniejszego, czyli $9^\circ$. Gdy leży na łuku mniejszym, jest oparty na łuku $342^\circ$, więc ma $171^\circ$.

Najkrótsze przekątne łączą wierzchołki oddalone o jeden wierzchołek; jest ich zawsze $n$. Najdłuższe przekątne dla parzystego $n$ są średnicami, więc jest ich $n/2$. Dla nieparzystego $n$ każdy wierzchołek wyznacza jedną najdłuższą przekątną i jest ich $n$.