MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 218

Kąt wewnętrzny $n$-kąta foremnego ma miarę $180^\circ-\frac{360^\circ}{n}$. Z równania $180-360/n=179$ otrzymujemy $n=360$.

Warunek $180^\circ-\frac{360^\circ}{n}>177^\circ$ jest równoważny $360/n<3$, czyli $n>120$. Najmniejszą liczbą naturalną spełniającą warunek jest $121$.

Rozwiązujemy nierówność

Jest ona równoważna $180<n<360$. Liczby naturalne od $181$ do $359$ włącznie tworzą zbiór $359-181+1=179$ liczb.

Wielokąt foremny ma środek symetrii wtedy i tylko wtedy, gdy liczba jego boków jest parzysta; obrót o $180^\circ$ musi bowiem przeprowadzać każdy wierzchołek na wierzchołek przeciwległy.

Liczba osi symetrii wielokąta foremnego jest równa liczbie jego boków, więc jest to jedenastokąt foremny. Ponieważ $11$ jest nieparzyste, wielokąt nie ma środka symetrii.

Niech bok sześciokąta ma długość $a$. Wtedy $R=a$, $r=a\sqrt3/2$, obwód $6a$, a pole $3\sqrt3a^2/2$.

a) Z równania $2\pi a-6a=8$ mamy $a=4/(\pi-3)$, więc $P=\frac{24\sqrt3}{(\pi-3)^2}$.

b) Z równania $6a-2\pi(a\sqrt3/2)=2\sqrt3-\pi$ dostajemy $a=1/\sqrt3$, zatem $P=\sqrt3/2$.

Dla boku $a$ ośmiokąta trójkąt utworzony przez połowę boku, apotemę i promień jest prostokątny, więc $R^2-r^2=(a/2)^2$. Z warunku

otrzymujemy $a^2/4=4$, czyli $a=4$.

Z rysunku łuki $CB$, $BA$ i $AC$ obejmują odpowiednio $3$, $4$ i $5$ boków dwunastokąta, czyli mają miary $90^\circ$, $120^\circ$ i $150^\circ$. Kąty wpisane trójkąta są połowami przeciwległych łuków: $A=45^\circ$, $B=75^\circ$, $C=60^\circ$.

Dla promienia $R=2$ boki są cięciwami. Korzystając ze wzoru $P=abc/(4R)$ albo z dwóch boków i kąta między nimi, otrzymujemy $P=3+\sqrt3$.

Kąt promyka jest kątem wpisanym. Łuk oparty na nim obejmuje kolejno $1,3,5,7$ boków jedenastokąta, więc pojedynczy kąt ma odpowiednio $\frac{180^\circ}{11}$, $\frac{3\cdot180^\circ}{11}$, $\frac{5\cdot180^\circ}{11}$ lub $\frac{7\cdot180^\circ}{11}$. Każda gwiazda ma $11$ takich kątów.

Łączymy środek wielokąta z końcami jednego boku. Powstaje trójkąt równoramienny o kącie przy wierzchołku $360^\circ/n$.

a) Po podziale na dwa trójkąty prostokątne połowa boku ma długość $R\sin(180^\circ/n)$, więc $a=2R\sin(180^\circ/n)$ i $L=na=2nR\sin(180^\circ/n)$.

b) W tym samym trójkącie $\tan(180^\circ/n)=(a/2)/r$, zatem $a=2r\tan(180^\circ/n)$ i $L=2nr\tan(180^\circ/n)$.