MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 220

Krótsze przekątne dzielą gwiazdę na $12$ przystających małych trójkątów równobocznych. Jeśli ich bok ma długość $x$, to bok zewnętrznego sześciokąta ma długość $x\sqrt3$.

Pole gwiazdy to $12\cdot\frac{x^2\sqrt3}{4}=3x^2\sqrt3=30$. Pole sześciokąta wynosi

Niech od każdego wierzchołka sześciokąta odcięto na sąsiednich bokach odcinki długości $x$. Odcinek łączący ich końce ma długość $x\sqrt3$, bo zawarty między nimi kąt ma $120^\circ$. Środkowy odcinek każdego boku sześciokąta ma długość $1-2x$.

W dwunastokącie foremnym te długości są równe: $x\sqrt3=1-2x$. Stąd $x=2-\sqrt3$, a bok dwunastokąta $x\sqrt3=2\sqrt3-3$.

Trójkąt wpisany w okrąg jest prostokątny wtedy i tylko wtedy, gdy jego przeciwprostokątna jest średnicą. W stuwierzchołkowym wielokącie jest $50$ par przeciwległych wierzchołków. Po wyborze średnicy trzeci wierzchołek można wybrać na $98$ sposobów.

Każdy trójkąt ma jedną przeciwprostokątną, więc nie ma podwójnego liczenia: $50\cdot98=4900$.

Liczba przekątnych $n$-kąta wynosi $n(n-3)/2$. Warunek $n(n-3)/2<100$ daje $n<\frac{3+\sqrt{809}}2\approx15{,}72$. Dla wielokątów $n\ge3$, więc możliwe są liczby $3,4,\ldots,15$ — razem $13$ liczb.

Kąt między przekątnymi jest kątem wpisanym opartym na łuku jednego boku wielokąta. Ma więc miarę połowy kąta środkowego:

Stąd $n=12$, a kąt wewnętrzny ma miarę $180^\circ-360^\circ/12=150^\circ$.

Niech $R$ będzie promieniem okręgu opisanego. Najdłuższa przekątna jest średnicą $2R$. Najkrótsza przekątna opiera się na kącie środkowym $90^\circ$, więc ma długość $R\sqrt2$.

Pole ośmiokąta, jako suma ośmiu trójkątów o kącie środkowym $45^\circ$, wynosi

Warunek na kąty wewnętrzne daje

czyli $18(k-n)=nk$. Po przekształceniu $(18-n)(k+18)=324$. Ponieważ $3\le n<18$, sprawdzamy dodatnie dzielniki $324$ i otrzymujemy wszystkie pary:

Układ wszystkich krótszych przekątnych jest niezmienniczy przy obrocie o $60^\circ$ wokół środka sześciokąta. Obrót przeprowadza kolejno $G,H,I,J,K,L$ na następny punkt, więc wszystkie boki i kąty $GHIJKL$ są równe; jest to sześciokąt foremny.

Ustawmy zewnętrzny sześciokąt o boku $1$ w układzie współrzędnych. Przecięcie przekątnych $AC$ i $BF$ ma współrzędne $(0,-\sqrt3/3)$. Obrót tego punktu o $60^\circ$ daje sąsiedni wierzchołek wewnętrznego sześciokąta, a odległość między nimi wynosi $\sqrt3/3$.

Niech $R$ będzie promieniem okręgu opisanego. Przekątne dwunastokąta tworzą pięć klas długości. Ich łączna długość wynosi

Obwód dwunastokąta jest równy $L=24R\sin15^\circ=6R(\sqrt6-\sqrt2)$, zatem $17L\approx105{,}57R$. Otrzymujemy $D<17L$, co należało wykazać.

Kąt wewnętrzny ma miarę $180^\circ-360^\circ/n$. Jest całkowity wtedy i tylko wtedy, gdy $360/n$ jest liczbą całkowitą, czyli gdy $n$ jest dzielnikiem $360$. Ponieważ $360=2^3\cdot3^2\cdot5$, ma $(3+1)(2+1)(1+1)=24$ dzielniki. Odrzucamy $n=1,2$, które nie wyznaczają wielokątów. Zostają $22$ liczby.

Dla $n$-kąta foremnego zachodzi $r=R\cos(180^\circ/n)$. Szukany procent jest więc równy $100\cos^2(180^\circ/n)$.

a) Dla $n=6$: $100\cos^230^\circ=75\%$.

b) Dla $n=8$: $100\cos^222{,}5^\circ=25(2+\sqrt2)\%\approx85{,}4\%$.