MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 217

Pole czworokąta opisanego na okręgu jest równe iloczynowi promienia i połowy obwodu. Stąd $221=r\cdot34$, więc $r=6{,}5$ cm.

Deltoid $KLMN$ jest wpisany w okrąg. Dwa jego przeciwległe równe kąty mają po $90^\circ$, zatem przekątna łącząca pozostałe wierzchołki jest średnicą długości $13$ cm. Jeśli dwie różne długości boków deltoidu są $x,y$, to $x+y=15$ i $x^2+y^2=13^2$. Stąd $xy=28$. Deltoid składa się z dwóch przystających trójkątów prostokątnych, więc jego pole wynosi $xy=28\ \text{cm}^2$.

Skoro na trapezie ma być opisany okrąg, trapez jest równoramienny. Wysokość wynosi $2r$. Niech krótsza podstawa ma długość $b$. Z geometrii trapezu i warunku styczności otrzymujemy $b=r$ (połowa różnicy podstaw to $3r/2$, a ramię ma długość $5r/2$).

Pole trapezu: $P=\frac{4r+r}{2}\cdot2r=5r^2$.

W trójkącie utworzonym przez dłuższą podstawę i jeden górny wierzchołek boki mają długości $4r$, $\frac52r$ i $\frac{\sqrt{41}}2r$, a pole $4r^2$. Zatem promień okręgu opisanego wynosi

Wysokość trapezu wynosi $2r=6$. Skośne ramię ma długość $6/\sin30^\circ=12$. W trapezie opisanym suma podstaw jest równa sumie ramion, czyli $6+12=18$. Pole wynosi $\frac{18}{2}\cdot6=54$.

Niech $p,q$ będą odcinkami stycznymi od końców skośnego ramienia, a $r$ promieniem koła. Odległości środka od tych końców spełniają

Połówki sąsiednich kątów są dopełniające, więc $pq=r^2$. Dla $x=r^2$ otrzymujemy $(36-x)(4-x)=x^2$, skąd $x=18/5$. Pole koła wynosi $\pi r^2=18\pi/5$.

Bok rombu ma długość $10$ cm. Odcinki styczne przy sąsiednich wierzchołkach mają długości $1$ i $9$, a ich iloczyn jest równy $r^2$. Stąd $r=3$ i wysokość rombu $h=2r=6$ cm.

Pole rombu wynosi $10\cdot6=60$, więc iloczyn przekątnych jest równy $120$. Ponadto suma kwadratów przekątnych wynosi $4\cdot10^2=400$. Rozwiązanie układu daje przekątne $2\sqrt{10}$ cm i $6\sqrt{10}$ cm.

Wysokość trapezu jest równa $2r$. Ramiona mają długości $2r/\sin\alpha$ i $2r/\sin\beta$. Ponieważ trapez jest opisany na okręgu, suma podstaw jest równa sumie ramion. Zatem

Niech przekątne rombu mają długości $p$ i $2p$. Pole rombu wynosi $P=p^2$, a bok $\frac12\sqrt{p^2+4p^2}=\frac{p\sqrt5}{2}$. Połowa obwodu jest więc równa $p\sqrt5$, zatem promień okręgu wpisanego $r=P/(p\sqrt5)=p/\sqrt5$.

Szukany stosunek wynosi $\frac{\pi r^2}{P}=\frac{\pi p^2/5}{p^2}=\frac\pi5$.

Niech $G$ będzie punktem styczności okręgu z ramieniem $BC$. Z równości odcinków stycznych wychodzących z jednego punktu: $EB=BG$ i $FC=CG$.

W trójkątach prostokątnych $BOG$ i $COG$:

Ponieważ $B+C=180^\circ$, mamy $\cot(C/2)=\tan(B/2)$. Zatem $EB\cdot FC=BG\cdot CG=r^2$.

Trapez, na którym można opisać okrąg, jest równoramienny. Jeśli jego podstawy mają długości $a,b$, to z warunku istnienia okręgu wpisanego każde ramię ma długość $(a+b)/2$.

Połowa różnicy podstaw jest poziomym rzutem ramienia, więc

Zatem $h=\sqrt{ab}$ i $P=\frac{a+b}{2}\sqrt{ab}$.