MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 216

Wysokość trapezu wynosi $2r=4$ cm. Dla trapezu równoramiennego opisanego na okręgu suma podstaw jest równa podwojonej długości ramienia, więc obwód jest czterokrotnością ramienia.

a) Ramię $l=4/\sin30^\circ=8$ cm, zatem obwód wynosi $32$ cm.

b) Niech przekątna ma długość $5$ cm. Jej poziomy rzut ma długość $3$ cm. W trapezie równoramiennym jest to połowa sumy podstaw, więc suma podstaw wynosi $6$ cm, a także $2l=6$ cm. Obwód wynosi $12$ cm.

Na ramieniu $AD$ tangentne odcinki mają długości $9$ i $4$. Ich iloczyn jest równy $r^2$, ponieważ połowy kątów przy tym ramieniu są dopełniające. Stąd $r=6$, a wysokość trapezu $12$.

Na podstawie $CD=6$ odcinek styczny wychodzący z $D$ ma długość $4$, więc drugi ma długość $2$. Na drugim ramieniu iloczyn tangentnych odcinków też wynosi $36$, zatem odcinek przy dolnej podstawie ma długość $18$. Ramiona mają długości $13$ i $20$, a suma podstaw jest równa $33$. Pole:

$$P=\frac{33}{2}\cdot12=198.$$

Oba okręgi są styczne do prostych $AB$ i $CD$, więc mają ten sam promień, równy połowie wysokości prostokąta, a ich środki leżą na jego prostej środkowej.

Niech $M$ będzie punktem przecięcia $EF$ z tą prostą. Dla dowolnego punktu $X$ na prostej środkowej odległość od prostej $EF$ jest równa $h\,|XM|/|EF|$, gdzie $h$ jest wysokością prostokąta. Środki obu okręgów leżą po przeciwnych stronach $EF$ i mają od niego odległość $h/2$. Zatem każdy środek jest oddalony od $M$ o $|EF|/2$, a odległość między środkami wynosi $|EF|$.

Niech podstawy mają długości $a,b$, wysokość $h$, a skośne ramię $c$. Dla trapezu opisanego $a+b=h+c$, natomiast z twierdzenia Pitagorasa $c^2=h^2+(a-b)^2$.

Po podstawieniu $c=a+b-h$ i podniesieniu do kwadratu:

$$(a+b-h)^2=h^2+(a-b)^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{(a+b)h}{2}=ab.$$

Lewa strona jest polem trapezu, więc $P=ab$.

Najdłuższym bokiem takiego trapezu jest dłuższa podstawa, więc ma ona długość $a=12$ cm. Wysokość wynosi $2r=6$ cm. Z wyniku poprzedniego zadania $P=ab$, a jednocześnie $P=\frac{(a+b)h}{2}$. Zatem

$$12b=3(12+b),$$

co daje $b=4$ cm i $P=12\cdot4=48\ \text{cm}^2$.

Punkt styczności dzieli ramię długości $10$ cm na odcinki $2$ cm i $8$ cm. Ich iloczyn jest równy $r^2$, więc $r=4$ cm.

Przy wierzchołkach prostych tangentne odcinki na podstawach mają długość $r=4$ cm. Podstawy mają więc długości $4+8=12$ cm i $4+2=6$ cm. Pole trapezu, równe iloczynowi podstaw, wynosi $12\cdot6=72\ \text{cm}^2$.

Wysokość rombu wynosi $a\sin60^\circ=\frac{a\sqrt3}{2}$, a promień okręgu wpisanego jest połową wysokości: $r=\frac{a\sqrt3}{4}$.

Promienie poprowadzone do kolejnych punktów styczności tworzą na przemian kąty środkowe $120^\circ$ i $60^\circ$. Czworokąt styczności jest prostokątem o bokach $2r\sin60^\circ=r\sqrt3$ oraz $2r\sin30^\circ=r$. Jego pole wynosi

$$r^2\sqrt3=\frac{3\sqrt3}{16}a^2.$$

Trapez ma okrąg wpisany i opisany, więc jest równoramienny, a suma podstaw jest równa sumie ramion. Krótsza podstawa ma długość $2\cdot4-6=2$ cm.

Wysokość wynosi $h=\sqrt{4^2-((6-2)/2)^2}=2\sqrt3$, więc promień wpisany $r=h/2=\sqrt3$ cm.

Przekątna ma długość $2\sqrt7$. Dla trójkąta z bokami $6,4,2\sqrt7$ i polem $6\sqrt3$:

$$R=\frac{6\cdot4\cdot2\sqrt7}{4\cdot6\sqrt3} =\frac{2\sqrt{21}}3\ \text{cm}.$$

Promień okręgu jest równy połowie wysokości, czyli $3$. Na dłuższej podstawie odcinki przy punktach styczności mają długości $4{,}5$ i $9$. Iloczyn odcinków stycznych przy każdym ramieniu jest równy $r^2=9$, więc odpowiadające odcinki na krótszej podstawie mają długości $2$ i $1$.

Podstawy mają długości $13{,}5$ i $3$, zatem pole trapezu wynosi $\frac{16{,}5}{2}\cdot6=49{,}5$. Po odjęciu pola koła dostajemy $49{,}5-9\pi$.

Kąty ostre trapezu mają po $45^\circ$. Wysokość jest równa $2r$, a każde ramię ma długość $2r\sqrt2$. Ponieważ trapez jest opisany na okręgu, suma podstaw jest równa $4r\sqrt2$. Odcinek łączący środki ramion, czyli średnia podstaw, ma długość $2r\sqrt2$.

Z równania $2r\sqrt2=7\sqrt2$ otrzymujemy $r=3{,}5$.