MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 215

Niech promień okręgu wynosi $r$. Wysokość trapezu ma długość $2r$, a jego skośne ramię, tworzące z podstawą kąt $60^\circ$, ma długość $\frac{4r}{\sqrt3}$. Różnica podstaw wynosi $\frac{2r}{\sqrt3}$.

Jeśli dłuższa podstawa ma długość $1$, to krótsza ma długość $1-\frac{2r}{\sqrt3}$. Dla czworokąta opisanego suma podstaw jest równa sumie ramion:

Stąd $r=\frac1{1+\sqrt3}=\frac{\sqrt3-1}{2}$.

Krótsze ramię ma długość $4$ i leży przy kącie $60^\circ$, więc wysokość trapezu wynosi $h=4\sin60^\circ=2\sqrt3$. Drugie ramię, leżące przy kącie $30^\circ$, ma długość $h/\sin30^\circ=4\sqrt3$.

Suma podstaw jest równa sumie ramion: $4+4\sqrt3$. Obwód to dwa razy ta suma, czyli $8(1+\sqrt3)$. Pole wynosi

W trapezie opisanym na okręgu suma podstaw jest równa sumie ramion, czyli każda z tych sum stanowi połowę obwodu: $28$ cm. Pole trapezu jest równe iloczynowi promienia i połowy obwodu: $70=28r$. Stąd $r=2{,}5$ cm.

Niech bok rombu ma długość $a$. Pole rombu wynosi $a^2\sin30^\circ=a^2/2$, a połowa obwodu $2a$. Promień okręgu wpisanego spełnia $P=r\cdot2a$, więc $r=a/4$.

Stosunek pola koła do pola rombu jest równy

Środek okręgu leży na dwusiecznych kątów. Ponieważ $\angle B+\angle C=180^\circ$, kąt między ich dwusiecznymi ma miarę $90^\circ$, czyli $\angle BOC=90^\circ$.

Niech połowy podstaw trapezu mają długości $x,y$. Punkt styczności dzieli ramię właśnie na odcinki $x,y$, więc $x:y=4:9$. Wysokość jest równa $2r=6$. Z zależności $(x+y)^2-(x-y)^2=6^2$ otrzymujemy $xy=9$. Po podstawieniu $x=4k,y=9k$ mamy $k=1/2$, więc połowy podstaw to $2$ i $4{,}5$. Pole trapezu: $\frac{4+9}{2}\cdot6=39\ \text{cm}^2$.

Niech trzy kolejne boki mają długości $k,3k,4k$, a czwarty $x$. Dla czworokąta opisanego $k+4k=3k+x$, zatem $x=2k$. Obwód $10k=20$ daje $k=2$.

Boki mają więc długości $2,6,8,4$ cm. Połowa obwodu wynosi $10$ cm, a pole czworokąta opisanego na okręgu to $rs=3\cdot10=30\ \text{cm}^2$.

W deltoidzie wpisanym w okrąg dwa przeciwległe równe kąty mają po $90^\circ$. Dwa pozostałe sumują się do $180^\circ$ i jeden jest dwa razy większy od drugiego, więc mają $120^\circ$ i $60^\circ$.

Oś symetrii dzieli deltoid na dwa trójkąty $30^\circ$–$60^\circ$–$90^\circ$ o przeciwprostokątnej $2R$ i przyprostokątnych $R,R\sqrt3$. Pole deltoidu wynosi $R^2\sqrt3$, a połowa obwodu $R(1+\sqrt3)$. Ponieważ $P=rs$,

Wysokość trapezu jest równa średnicy okręgu, czyli $2r$. Jeśli $m$ oznacza odcinek łączący środki ramion, to jest on średnią arytmetyczną podstaw. Pole trapezu wynosi $P=m\cdot2r$, stąd $m=\frac{P}{2r}$.

Promień $OE$ jest prostopadły do boku $BC$. W trójkącie prostokątnym $CEO$:

Punkt $O$ jest punktem przecięcia przekątnych rombu, więc połowa jednej przekątnej ma długość $6\sqrt2$. Oznaczmy połowę drugiej przez $q$. Odległość środka od boku rombu jest równa

Po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy $q=3$. Przekątne mają długości $12\sqrt2$ i $6$, zatem pole rombu wynosi $36\sqrt2$.