MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 214

Trapez wpisany w okrąg jest równoramienny. Połowa różnicy podstaw ma długość $1$, więc ramię ma długość $\sqrt{1^2+(2\sqrt2)^2}=3$.

Przekątna ma długość $\sqrt{8^2+(2\sqrt2)^2}=6\sqrt2$. Pole trójkąta o bokach $9,3,6\sqrt2$ wynosi $9\sqrt2$. Ze wzoru $P=\frac{abc}{4R}$ otrzymujemy $R=\frac92$. Długość okręgu to $2\pi R=9\pi$ cm.

Ustawmy $A=(0,0)$, $B=(4,0)$, $C=(4,4)$, $D=(0,4)$. Zgodnie z rysunkiem można przyjąć $K=(0,1)$, $L=(3,0)$, $M=(4,3)$, $N=(1,4)$.

Każdy bok $KLMN$ ma długość $\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$, a iloczyn skalarny kolejnych wektorów, np. $(3,-1)\cdot(1,3)$, jest równy $0$. Czworokąt jest więc kwadratem.

Pola kół opisanych na kwadratach są proporcjonalne do kwadratów boków, więc szukany stosunek wynosi $10:16=5:8$.

Oznaczmy dolny lewy wierzchołek rombu przez $(0,0)$, a bok leżący na średnicy przez odcinek długości $s$. Niech górny lewy wierzchołek ma współrzędne $(u,h)$. Oba górne wierzchołki leżą na półokręgu, więc są symetryczne względem jego pionowej średnicy: $2u+s=2r$.

Z równania okręgu i warunku $u^2+h^2=s^2$ dostajemy $s^2=2ru$. Po wyeliminowaniu $u$ otrzymujemy $s=r$, $u=r/2$ i $h=\sqrt3r/2$.

Przekątne rombu mają zatem długości $r$ i $\sqrt3r$, a pole $\frac{r\cdot\sqrt3r}{2}=\frac{\sqrt3}{2}r^2$. Ponieważ bok ma długość $r$, sinus kąta ostrego jest równy $P/r^2=\sqrt3/2$.

Ponieważ $DE\perp AB$ i $DF\perp BC$, mamy $\angle BED=\angle BFD=90^\circ$. Suma przeciwległych kątów czworokąta $EBFD$ jest równa $180^\circ$, więc można na nim opisać okrąg. Jego średnicą jest $BD$.

W trójkącie $ABD$:

Stąd $BD=2\sqrt{13}$ i promień okręgu jest równy $\sqrt{13}$.

Trapez jest równoramienny. Odległości środka okręgu od prostych zawierających podstawy są równe $\sqrt{25-4^2}=3$ cm oraz $\sqrt{25-(2\sqrt6)^2}=1$ cm. Środek leży między podstawami, więc wysokość trapezu wynosi $4$ cm.

Połowa różnicy podstaw to $2\sqrt6-4$. Długość ramienia:

Po ustawieniu podstaw na prostych $y=-1$ i $y=3$ odległość środka $(0,0)$ od każdej prostej zawierającej ramię, ze wzoru na odległość punktu od prostej, wynosi $\sqrt3+2\sqrt2$ cm.

Jeśli boki prostokąta mają długości $x,y$, to jego przekątna jest średnicą okręgu, więc $x^2+y^2=4r^2$. Z nierówności $2xy\le x^2+y^2$ wynika $xy\le2r^2$. Równość, a więc największe pole, zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $x=y$. Stąd $x=y=r\sqrt2$.

W trójkącie $ABC$ z twierdzenia cosinusów:

zatem $B=120^\circ$. W czworokącie wpisanym $D=60^\circ$. Ponieważ $AD=CD$, trójkąt $ADC$ jest równoramienny z kątem między ramionami $60^\circ$, czyli równoboczny. Stąd $AD=CD=AC=\sqrt6$.

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku $\sqrt6$ wynosi $\sqrt6/\sqrt3=\sqrt2$.

Przedłużone ramiona tworzą trójkąt prostokątny równoramienny. Jeśli odległości podstaw od jego wierzchołka wynoszą $y_1,y_2$, to ich długości są odpowiednio $2y_1,2y_2$. Dla dłuższej podstawy $y_1=2\sqrt2$, a dla krótszej, równej szukanemu promieniowi $R$, $y_2=R/2$.

Środek okręgu opisanego leży na osi symetrii. Porównanie odległości od wierzchołków obu podstaw daje promień spełniający

Stąd $R=\frac{4\sqrt6}{3}$.