MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 213

Oznaczmy miary łuków $BC,CD,DA$ odpowiednio przez $y,z,w$. Z twierdzenia o kącie wpisanym i kącie utworzonym przez przecinające się cięciwy:

Ponieważ $\angle ACD$ jest oparty na łuku $AD$, ma miarę $w/2$. Z powyższych równań $w=\beta+\gamma-\alpha$, zatem $\angle ACD=\frac{\beta+\gamma-\alpha}{2}$.

Trapez wpisany w okrąg jest równoramienny, a dłuższa podstawa jest średnicą długości $6$ cm.

a) Kąt środkowy $60^\circ$ wyznacza krótszą podstawę długości $3$. Jej odległość od środka wynosi $3\cos30^\circ=\frac{3\sqrt3}{2}$. Każde ramię ma długość $3$, więc obwód wynosi $6+3+2\cdot3=15$ cm.

b) Niech połowa krótszej podstawy ma długość $x$. Dla przekątnej $2\sqrt7$ zachodzi $28=(x+3)^2+(9-x^2)=18+6x$, więc $x=\frac53$. Krótsza podstawa ma długość $\frac{10}{3}$, a ramię $\sqrt{18-6x}=2\sqrt2$. Obwód to $\frac{28}{3}+4\sqrt2$ cm.

Niech $R$ będzie promieniem, a $x$ połową krótszej podstawy. Po ustawieniu średnicy $AB$ poziomo otrzymujemy

Po dodaniu równań: $4R^2=121$, zatem $R=\frac{11}{2}=5{,}5$ cm.

Kąt między promieniem a krótszą podstawą jest kątem przy podstawie trójkąta równoramiennego utworzonego przez dwa promienie. Ma $30^\circ$, więc odpowiadający kąt środkowy ma $120^\circ$ i $a=2R\sin60^\circ=R\sqrt3$.

Odległość środka od krótszej podstawy wynosi $R/2$. Połowa dłuższej podstawy to $4\sqrt2$, więc jej odległość od środka wynosi $\sqrt{R^2-32}$. Środek leży między podstawami, zatem

Równanie daje $R=6$, a więc $a=6\sqrt3$.

Kąty przy każdym ramieniu trapezu są dopełniające do $180^\circ$. Dwusieczne takiej pary kątów są więc prostopadłe. Dwa przeciwległe kąty czworokąta $KLMN$ mają zatem po $90^\circ$.

Ich suma wynosi $180^\circ$, co jest warunkiem wystarczającym do opisania okręgu na czworokącie. Zatem $KLMN$ jest czworokątem wpisanym w okrąg.

Załóżmy bez straty ogólności, że $AB=CD$. Równe cięciwy tego samego okręgu wyznaczają równe kąty wpisane, więc $\angle ACB=\angle CAD$. Są to kąty naprzemianległe przy prostej $AC$, zatem $BC\parallel AD$. Czworokąt ma parę boków równoległych, czyli jest trapezem.

Niech $E$ będzie spodkiem wysokości $CE$. Z trójkąta prostokątnego $AEC$:

Przekątna $AC$ jest prostopadła do ramienia $BC$. Jej nachylenie daje poziomy rzut ramienia równy $2$. Stąd $AB=8+2=10$, a z symetrii $CD=10-2\cdot2=6$.

Pole trapezu wynosi $\frac{10+6}{2}\cdot4=32$. Trójkąt $ABC$ jest prostokątny w $C$, więc jego przeciwprostokątna $AB=10$ jest średnicą okręgu: $R=5$.

Kąty ostre trapezu mają po $45^\circ$. Niech jego wysokość wynosi $h$. Z warunku, że przekątna tworzy z dłuższą podstawą kąt $30^\circ$, jej rzut na podstawę ma długość $\sqrt3h$, więc przekątna ma długość $2h$.

Przekątna jest cięciwą opartą na kącie wpisanym $45^\circ$, zatem $2h=2R\sin45^\circ=R\sqrt2$ i $h=R/\sqrt2$.

Dłuższa podstawa ma długość $(\sqrt3+1)h$, krótsza $(\sqrt3-1)h$, a ramię $h\sqrt2$. Po podstawieniu:

Cykliczny deltoid składa się z dwóch trójkątów prostokątnych o wspólnej przeciwprostokątnej będącej średnicą $8$. Jeśli druga przekątna ma długość $q$, to $28=\frac12\cdot8\cdot q$, więc $q=7$.

Połowa tej przekątnej ma długość $7/2$. Jej odległość od środka okręgu wynosi $\sqrt{4^2-(7/2)^2}=\frac{\sqrt{15}}2$. Dwie różne długości boków są równe $\sqrt{30}+\sqrt2$ oraz $\sqrt{30}-\sqrt2$. Obwód deltoidu wynosi zatem $4\sqrt{30}$.