MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 20

Punkty przecięcia prostej i paraboli wyznaczamy z równania $x^2+6x+10=x+10,$ czyli $x(x+5)=0$. Otrzymujemy $A=(-5,5)$ i $B=(0,10)$.

Wierzchołek paraboli ma współrzędne $C=(-3,1).$ Prosta $AB$ ma równanie $y=x+10$. Długość podstawy $AB$ wynosi $5\sqrt2$, a odległość punktu $C$ od tej prostej wynosi $\frac{|1-(-3)-10|}{\sqrt2}=3\sqrt2.$ Zatem $P=\frac12\cdot5\sqrt2\cdot3\sqrt2=15.$

Wierzchołek paraboli $y=x^2-6x+15$ ma współrzędne $(3,6)$. Ponieważ należy do prostej $y=ax$, mamy $6=3a$, więc $a=2$. Punkty przecięcia prostej $y=2x$ z parabolą spełniają $x^2-8x+15=(x-3)(x-5)=0.$ Pierwszy pierwiastek odpowiada wierzchołkowi. Dla drugiego, $x=5$, mamy $y=10$.

Zrównujemy wzory prostej i paraboli: $3x^2-x+1=2x+7,$ $3(x-2)(x+1)=0.$ Odcięte punktów przecięcia to $-1$ i $2$, a rzędne obliczone ze wzoru prostej to odpowiednio $5$ i $11$. Zatem $|b-d|=|5-11|=6,\qquad a+c=-1+2=1.$ Szukana wartość wynosi $\frac6{1^2+1}=3.$

Prosta przechodząca przez $A$ i $B$ ma współczynnik kierunkowy $a=\frac{8-(-6)}{2-(-5)}=2,$ więc jej równanie to $y=2x+4$.

Dla paraboli warunki przejścia przez $C$ i $D$ dają $16-4c+d=1,\qquad 1-c+d=-2.$ Stąd $c=4$, $d=1$, zatem parabola ma równanie $y=x^2+4x+1$. Punkty przecięcia spełniają $x^2+4x+1=2x+4,$ czyli $(x+3)(x-1)=0$. Dla $x=-3$ mamy $y=-2$, a dla $x=1$ mamy $y=6$.

Prosta przez $A$ i $B$ ma równanie $g(x)=2x-4.$ Z warunków $f(1)=-2$ i $f(5)=6$ otrzymujemy $a+b=-3,\qquad 5a+b=-19,$ więc $a=-4$, $b=1$ i $f(x)=x^2-4x+1$. Stąd $h(x)=-x^2+4x-1.$ Punkty przecięcia $h$ i $g$ spełniają $-x^2+4x-1=2x-4,$ czyli $(x-3)(x+1)=0$. Dla $x=-1$ mamy $y=-6$, a dla $x=3$ mamy $y=2$.

Suma kwadratów liczb rzeczywistych jest równa zeru tylko wtedy, gdy oba składniki są zerami. Rozwiązujemy więc układ

a) Rozwiązujemy równanie $4-x^2=|x+2|$ przedziałami. Dla $x\ge-2$ otrzymujemy $x^2+x-2=(x+2)(x-1)=0,$ co daje $x=-2$ lub $x=1$. Dla $x<-2$ równanie nie daje dodatkowego rozwiązania. Punkty wspólne to $(-2,0)$ i $(1,3)$.

b) Dla $x\ge2$ równanie $\frac14(x+1)^2-3=-2x+7$ daje dopuszczalne rozwiązanie $x=3$. Dla $x<2$ równanie $\frac14(x+1)^2-3=2x-1$ daje dopuszczalne rozwiązanie $x=-1$. Punkty wspólne to $(3,1)$ i $(-1,-3)$.

Graficznie rozwiązaniami są dokładnie punkty przecięcia odpowiednich parabol z wykresami funkcji z wartością bezwzględną.

Obliczamy złożenia: $f(g(x))=3(2x^2+x+1)-1=6x^2+3x+2,$ $g(f(x))=2(3x-1)^2+(3x-1)+1=18x^2-9x+2.$ Po zrównaniu prawych stron otrzymujemy $12x^2-12x=12x(x-1)=0,$ więc $x=0$ lub $x=1$. Dla $x=0$ wspólna wartość wynosi $2$, a dla $x=1$ wynosi $11$.

W każdym podpunkcie porównujemy funkcję wyznaczającą dolną granicę z funkcją wyznaczającą górną granicę.

a) Warunek istnienia punktów obszaru to $x^2-1\le-x+1,$ czyli $(x+2)(x-1)\le0$. Zatem $-2\le x\le1$ i $x^2-1\le y\le-x+1.$

b) Warunek $x+2\le4-x^2$ prowadzi do tego samego przedziału $-2\le x\le1$. Obszar opisuje $x+2\le y\le4-x^2.$

c) Nierówność $(x+1)^2<x+3$ daje $-2<x<1$. Ponieważ obie nierówności są ostre, obie krzywe brzegowe rysujemy linią przerywaną: $(x+1)^2<y<x+3.$

Liczymy całkowite rzędne osobno dla każdej możliwej całkowitej odciętej.

a) Możliwe są $x=-2,-1,0,1,2$. Liczby dopuszczalnych rzędnych to odpowiednio $2,4,4,4,2$, zatem razem $16$.

b) Możliwe są $x=-3,-2,-1,0,1,2,3$. Liczby dopuszczalnych rzędnych to odpowiednio $2,3,4,3,4,3,2$, zatem razem $21$.

c) Z porównania granic wynika, że możliwe są tylko $x=-4,-3,-2,-1,0$. Dla tych odciętych liczby całkowitych rzędnych wynoszą odpowiednio $1,4,4,2,1$, zatem razem $12$.