MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 202

W trójkącie równobocznym odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku jest wysokością. Zatem $AE\perp BC$, a ponieważ $CE$ jest promieniem danego okręgu, $AE\perp CE$ i prosta $AE$ jest styczna w $E$. Analogicznie $BD\perp AC$ oraz $CD$ jest promieniem, więc $BD$ jest styczna w $D$.

Z jednego punktu $P$ odcinki styczne do tego samego okręgu są równe: $PA=PD$ oraz $PB=PC$. Trójkąty $PAD$ i $PBC$ są więc równoramienne i mają wspólny kąt przy $P$, zatem są podobne. Wynika stąd $AD\parallel BC$.

Ponadto $AB=PB-PA$, a $CD=PC-PD$. Z powyższych równości mamy $AB=CD$. Czworokąt ma więc jedną parę boków równoległych i równe ramiona, czyli jest trapezem równoramiennym.

Promień $OA$ jest prostopadły do stycznej $a$. Kąt wewnętrzny trójkąta $AOB$ przy wierzchołku $A$ ma więc miarę $90^\circ-\alpha$. Ponieważ $OA=OB$, taki sam jest kąt przy $B$. Stąd

Przyjmijmy przecinające się proste za osie układu, a ich punkt przecięcia za $P$. Odległości środka $O$ od tych prostopadłych prostych są bezwzględnymi wartościami dwóch prostopadłych składowych odcinka $OP$. Zatem

Punkt odległy od środka o promień leży na okręgu, więc $P$ leży na okręgu.

Ustawmy wspólną styczną jako oś $x$. Niech $B=(0,0)$, $O_1=(0,r)$, $C=(d,0)$ i $O_2=(d,R)$. Ze styczności zewnętrznej

więc $d^2=4rR$. Punkt styczności $A$ leży na $O_1O_2$ i dzieli ten odcinek w stosunku $r:R$, dlatego

Iloczyn skalarny wektorów $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{AC}$ jest równy $\frac{-rR d^2+4r^2R^2}{(r+R)^2}=0$. Zatem $AB\perp AC$ i $\angle BAC=90^\circ$.

Niech promień okręgu będzie równy $r$ i przyjmijmy styczną $l$ jako oś poziomą. Środek okręgu ma wysokość $r$. Ponieważ $O$ jest środkiem średnicy $AB$, suma skierowanych wysokości punktów $A$ i $B$ nad prostą $l$ wynosi $2r$. Są to właśnie długości $AC$ i $BD$. Jednocześnie $AB=2r$, więc

Ponieważ $AB$ jest średnicą, $\angle APB=90^\circ$. Z warunku $\angle PAB=30^\circ$ otrzymujemy $\angle PBA=60^\circ$. Z twierdzenia o kącie między styczną i cięciwą zewnętrzny kąt między $PC$ i $PA$ ma miarę $60^\circ$, więc wewnętrzny kąt $APC$ ma $120^\circ$.

Punkty $A,B,C$ są współliniowe, zatem $\angle PAC=30^\circ$. Trzeci kąt trójkąta również ma $30^\circ$, więc $AP=PC$ i trójkąt $APC$ jest równoramienny.