MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 203

a) Kąt $\alpha$ jest kątem wpisanym opartym na łuku wyznaczonym przez kąt środkowy $70^\circ$, więc $\alpha=35^\circ$.

b) Kąt $43^\circ$ jest kątem wpisanym opartym na wspólnej cięciwie. Kolejne zastosowanie zależności „kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego” w obu okręgach daje $\alpha=4\cdot43^\circ=172^\circ$.

c) Z równości promieni w obu okręgach i dwukrotnego przejścia między kątem wpisanym i środkowym wynika $4\alpha=44^\circ$. Zatem $\alpha=11^\circ$.

W obu podpunktach wyznaczamy kolejno miary łuków z kątów środkowych i wpisanych. Każdy kąt czworokąta jest połową miary łuku leżącego naprzeciw niego; kontrolnie kąty przeciwległe czworokąta wpisanego sumują się do $180^\circ$.

a) Otrzymujemy kolejno $95^\circ,70^\circ,85^\circ,110^\circ$.

b) Z łuków wyznaczonych przez kąty $62^\circ$ i $16^\circ$ otrzymujemy $47^\circ,74^\circ,133^\circ,106^\circ$.

a) Kąty $\alpha$ i $\beta$ są oparte na dwóch łukach, które razem tworzą półokrąg. Suma ich miar jest więc połową $180^\circ$, czyli $90^\circ$.

b) W każdym z dwóch górnych okręgów kąt wpisany $70^\circ$ wyznacza odpowiedni kąt środkowy $140^\circ$. Zaznaczony przy wspólnym punkcie kąt mniejszy ma $140^\circ$, natomiast $\alpha$ jest kątem wklęsłym: $\alpha=360^\circ-140^\circ=220^\circ$.

W każdym podpunkcie cięciwa oznaczona $r$ wraz z dwoma promieniami tworzy trójkąt równoboczny. Następnie stosujemy twierdzenie o kącie wpisanym oraz sumę kątów w trójkącie.

a) Trójkąt z bokami $r,r,r$ daje $\alpha=60^\circ$; kąt środkowy oparty na odpowiednim łuku ma $\beta=120^\circ$, a drugi kąt wpisany $\gamma=60^\circ$.

b) Po uwzględnieniu kąta $35^\circ$ otrzymujemy $\alpha=55^\circ$, $\beta=35^\circ$, $\gamma=95^\circ$.

c) Z kąta $20^\circ$ i trójkąta równobocznego otrzymujemy $\alpha=80^\circ$, $\beta=160^\circ$, $\gamma=100^\circ$.