MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 201

Promienie $O_1A$ i $O_2B$ są prostopadłe do stycznej $m$. W trójkącie prostokątnym $ABO_2$ przyprostokątne mają długości $12$ i $9$, więc

W trójkącie $ABO_1$ przyprostokątne mają długości $12$ i $5$, zatem $BO_1=\sqrt{12^2+5^2}=13$ cm.

Rzuty środków $K,L$ na prostą $a$ są oddalone o $AB=8$ cm. Ponieważ okręgi leżą po przeciwnych stronach prostej, składowa odcinka $KL$ prostopadła do $a$ ma długość $3+5=8$ cm. Z twierdzenia Pitagorasa

Jeśli odległość prostej od wspólnego środka wynosi $d$, to prosta jest sieczną dokładnie tych okręgów, których promienie są większe od $d$, oraz styczną do okręgu o promieniu $d$. Aby była sieczną dokładnie trzech okręgów o promieniach $4,5,6$, musi być styczna do okręgu o promieniu $3$.

I. Okrąg może być styczny do prostych zawierających dwa przeciwległe boki i trzeci bok kwadratu po zewnętrznej stronie kwadratu; wtedy nie jest styczny do prostej czwartego boku. Zdanie jest fałszywe.

II. Środek okręgu stycznego do dwóch prostych leży na jednej z ich dwusiecznych. Może leżeć na dwusiecznej zewnętrznej, a więc poza trójkątem. Zdanie jest fałszywe.

Połowa cięciwy ma długość $2$ cm. Promień spełnia

więc $r=2{,}5$ cm. Dwie równoległe styczne leżą po przeciwnych stronach okręgu, dlatego ich odległość jest średnicą: $2r=5$ cm.

Niech promień dwóch górnych okręgów będzie równy $R$. Ich środki są oddalone poziomo o $32-2R$, a ze styczności także o $2R$. Stąd $R=8$ cm.

Dolny okrąg ma promień $r$ i środek na osi kwadratu. Różnica poziomych współrzędnych jego środka i środka górnego okręgu wynosi $8$, a różnica pionowych $24-r$. Ze styczności:

Po uproszczeniu $576=64r$, więc $r=9$ cm.

Odległość środka $A$ od prostej $m$ jest równa wysokości w trójkącie z przeciwprostokątną $AB=2r$:

Prosta jest sieczną dla $d<r$, styczną dla $d=r$ i rozłączną z okręgiem dla $d>r$. Ponieważ $\alpha$ jest ostry, porównanie $2\sin\alpha$ z $1$ daje wartość graniczną $\alpha=30^\circ$.